Системы случайных величин.

На практике часто возникают задачи, когда приходится иметь дело не с одной, а с несколькими случайными величинами, которые образуют систему. Например, координаты (x, y) точек попадания пули в мишень. При этом свойства системы случайных величин не всегда сводятся к свойствам отдельных случайных величин. Кроме этого в системе могут появляться взаимные связи между случайными величинами (корреляции). Пример: размер осколка и радиус разлета от точки взрыва снаряда.

Систему из двух случайных величин XY часто описывают с помощью случайного вектора на плоскости

Функцией распределения системы двух случайных величин называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: и . Другими словами, величина

есть вероятность попадания вектора в квадрат с вершиной в точке , лежащей левее и ниже нее.

Свойства :

1. - неубывающая функция.

2. на повсюду стремится к , т.е. .

3. При или, стремится к функции распределения для второго аргумента , .

4. если x и y одновременно стремятся к , то .

Плотность распределения системы двух случайных величин.

Введем плотность распределения системы случайных величин X,Y через функцию распределения по аналогии с одной случайной величиной.

Свойства: , .

Условные плотности распределения системы двух случайных величин.

Если известна плотность , то из нее можно получить плотность распределения каждой величины в отдельности , . Решить обратную задачу, то есть восстановить по и в общем случае нельзя, для этого необходимо знать зависимость между и . Данная зависимость определяется, при помощи условной плотности распределения: . По определению, это плотность распределения случайной величины при условии, что имеет фиксированные значения. Тогда можно записать: , . Из этих соотношений находятся условные плотности распределения:

Зависимые и независимые случайные величины.

Зависимость и независимость всегда взаимны. Случайная величина называется независимой от случайной величины , если закон распределения для не зависит от того какое событие значение приняла величина . Это означает при любом x, и наоборот при выполнении условия величинабудет зависимой от . Зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, то есть если x(y) то и y(x). Для независимых величин имеем плотность распределения случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин. Это можно считать необходимым и достаточным условием независимых случайных величин.

Корреляционные моменты. Коэффициент корреляции.

В качестве числовых характеристик системы случайных величин обычно рассматривают начальные и центральные моменты различных порядков.

Начальным моментом порядка (k,s) системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения :

Центральным моментом порядка (k,s) системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения:

Для системы дискретных случайных величин

Для системы непрерывных случайных величин

Наиболее важные характеристики системы случайных величин:

Моменты 1-го порядка

- математическое ожидание по X или Y:

Моменты 2-го порядка

- дисперсия по X или Y:

- смешанный центральный момент или ковариация (корреляционный момент):

Для независимых случайных величин . Безразмерная величина , называемая коэффициентом корреляции, служит показателем линейной зависимости между и . Если коэффициент корреляции равен нулю, то говорят, что случайные величины и не коррелированны, но это не означает, что они независимы.