Математическое и кибернетическое моделирование систем.
Возможности математического моделирования
Для любого объекта моделирования свойственны качественные и количественные характеристики. Математическое моделирование отдает предпочтение выявлению количественных особенностей и закономерностей развития систем.
Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений - уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т. п., определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения параметров реакции, в зависимости от значений параметров объекта-оригинала, входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени.
Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания и, как следствие, может быть представлен различными математическими моделями.
Построение математической модели осуществляется в несколько этапов:
содержательное описание функционирования системы – характеристики системы, перечень элементов в ней, взаимодействие между ними, место каждого элемента в общем процессе, порядок и содержание отдельных этапов функционирования системы и т.п.;
создание операционной модели системы – полная логическая взаимосвязь элементарных операций, составляющих процесс функционирования системы и перечень характеристик каждой операции. Такого рода модель удобно представлять в графическом виде: сетевая модель, блок-схема;
преобразование операционной модели (ее делает технолог) в математическую (математик), в которой необходимо записать в аналитической форме все соотношения, логические условия и другие сведения, содержащиеся в операционной модели.
Процесс построения модели весьма сложен и трудоемок, поскольку модель должна заменить реально существующую сложную систему, она должна стать рабочим инструментом исследователя и удовлетворять в связи с этим следующим требованиям:
Модель в полной мере должна отвечать четко поставленной цели, в противном случае в ней могут быть заложены ошибочные предпосылки и в результате могут быть выработаны ошибочные решения;
Взаимосвязи и взаимозависимости в математической модели должны быть выражены в формализованном виде;
В модели должна быть заложена целесообразная (оправданная) степень упрощения реального объекта;
Должна быть обеспечена необходимая надежность модели.
Все эти требования образуют единый взаимосвязанный комплекс, обеспечивающий необходимое качество модели и обоснованность вырабатываемых решений.
Особенности кибернетического моделирования
Основы кибернетики заложил известный американский философ и математик профессор Массачусетского технологического института Норберт Винер (1894-1964) в работе «Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине» (1948).
Слово «кибернетика» происходит от греческого слова, означающего «кормчий». Большая заслуга Н. Винера в том, что он установил общность принципов управленческой деятельности для принципиально различных объектов природы и общества. Управление сводится к передаче, хранению и переработке информации, то есть к различным сигналам, сообщениям, сведениям. Основная заслуга Н. Винера заключается в том, что он впервые понял принципиальное значение информации в процессах управления.
Ныне, по мнению академика А. Н. Колмогорова, кибернетика изучает системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию и использовать ее для управления и регулирования.
Основу категориального аппарата кибернетики составляют такие понятия, как «модель», «система», «управление», «информация».
Современная кибернетика представляет собой неоднородную науку (рис.1). Она объединяет в себе совокупность наук, которые исследуют управление в системах различной природы с формальных позиций.
Кибернетика
Кибернетические науки Отрасли кибернетики
О бщая теория Теория Физическая Техническая
с истем информации кибернетика кибернетика
Общая теория Теория Биологическая Химическая
у правления моделирования кибернетика кибернетика
С истемотехника Математические Социальная Экономическая
науки кибернетика кибернетика
Рисунок 1 – Структура кибернетики.
Как отмечалось, кибернетическое моделирование строится на формальном отображении систем и их составляющих с помощью понятий «вход» и «выход», которые характеризуют связи элемента со средой. При этом каждый элемент характеризуется некоторым количеством «входов» и «выходов».
Потоки вещества, энергии, информации воздействуют на «входы» элемента, формируют его состояние и обеспечивают функционирование на «выходах». Количественной мерой взаимодействия «входа» и «выхода» выступает интенсивность, которая представляет собой соответственно количество вещества, энергии, информации на единицу времени. Причем это взаимодействие непрерывное или дискретное. Можно построить математические функции, которые описывают поведение элемента.
Кибернетика рассматривает систему как единство управляющих и управляемых элементов (субъектов и объектов управления – систему управления).
Кибернетические системы представляют собой особый вид системы, которые удовлетворяют следующим требованиям:
иметь определенный уровень организованности и особую структуру;
быть способными воспринимать, хранить, перерабатывать и использовать информацию, то есть представлять собой информационные системы;
обладать управлением по принципу обратной связи.
Кибернетическая система – динамическая система, представляющая собой совокупность каналов и объектов связи и обладающая структурой, позволяющей ей извлекать (воспринимать) информацию из своего взаимодействия со средой или другой системой и использовать эту информацию для самоуправления по принципу обратной связи.
Информация – основа кибернетической системы, которая ее воспринимает, перерабатывает и передает. Информационный характер кибернетической системы обусловлен:
необходимостью получения информации о воздействии среды на управляемую систему;
важностью информации о поведении системы;
потребностью информации о строении системы.
Различные аспекты природы информации изучали Н. Винер, К. Шеннон, У. Р. Эшби, А.И. Берг, В.М. Глушков, Н.М. Амосов, А.Н. Колмогоров и др.
Немаловажную роль в кибернетическом моделировании играют представления о «черном», «сером» и «белом» ящиках. Под «черным ящиком» понимается кибернетическая система (объект, процесс, явление), относительно внутренней организации , структуры и поведения элементов которой наблюдатель (исследователь) не имеет никаких сведений, но есть возможность влиять на систему через ее входы и регистрировать ее реакции на выходе. Наблюдатель в процессе манипулирования входа и фиксации результатов на выходе составляет протокол испытаний, анализ которого позволяет осветлить «черный ящик», то есть получить представление о его структуре и закономерностях преобразования сигнала «входа» в сигнал «выхода». Такой осветленный ящик получил название «серого ящика», который не дает, однако, полного представления о его содержании. Если наблюдатель полностью представляет содержание системы, ее строение и механизм преобразования сигнала, то она превращается в «белый ящик».
Рассмотренный в общих чертах процесс системного моделирования достаточно хорошо освоен в тех областях, где могут быть использованы четкие закономерности (например, в точных науках, где используются исключительно математические модели). Слабо освоены моделированием такие области, как медицина, геология, биология, гуманитарные науки и пр. В этой сфере знания представляются, чаще всего, в текстовой форме и для представления их в ЭВМ разрабатываются специальные методы формального описания – семантические сети, фреймы, продукционные системы, экспертные системы и тесно связанные с ними дедуктивные и индуктивные системы логического вывода.
Вопросы по теме 6:
Что такое модель? Определите ее признаки.
Дайте характеристику основных разновидностей моделей.
В чем специфика кибернетического моделирования?
Дайте характеристику этапам построения математической модели системы.
1 Канторович Леонид Витальевич (1912-1986) – математик и экономист. Основные труды по функциональному анализу, вычислительной математике. Положил начало линейному программированию. Один из создателей в СССР теории оптимального планирования и управления нар. хозяйством, теории оптимального использования сырьевых ресурсов. В 1975 совместно с американским ученым Т. Купмансом получил Нобелевскую премию за вклад в теорию оптимизации ресурсов.
2 Изоморфизм – отношение тождества систем в каком-либо структурном или функциональном аспекте.