6.4. Компьютерный практикум
a) Уравнение колебаний.
Указанные разностные схемы реализованы в специальном модуле пакета Mathcad для решения уравнений в частных производных PDE Solver.
Рассмотрим конкретный пример в Mathcad. Краевая задача для уравнения колебаний. Решение выполним, используя стандартные средства пакета. Для определенности выберем уже решенную ранее краевую задачу
the Wave Equation
Given
b) Краевая задача для уравнения теплопроводности. Решение выполним, используя стандартные средства пакета. Для определенности выберем уже решенную ранее краевую задачу:
,
the Heat Equation
Given
c) Рассмотрим конкретный пример в Mathcad. Краевая задача для уравнения Пуассона. Решение выполним, используя стандартные средства пакета и представим его графически в виде поверхности и линий уровней.
Предварительно детализируем встроенную функцию пакета.
Функция relax реализует метод релаксации для приближения к решению.
Она возвращает квадратную матрицу, в которой:
расположение элемента в матрице соответствует его положению внутри квадратной области,
это значение приближает решение в этой точке.
Функция relax используется, если известны значения искомой функции
u(x, y) на всех четырех сторонах квадратной области.
Ее аргументы:
a, b, c, d, e – квадратные матрицы одного и того же размера, содержащие коэффициенты дифференциального уравнения;
f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке внутри квадрата;
u – квадратная матрица, содержащая граничные значения функции на краях области, а также начальное приближение решения во внутренних точках области;
rjac – параметр, управляющий сходимостью процесса релаксации. Он может быть в диапазоне от 0 до 1, но оптимальное значение зависит от деталей задачи.
Решим следующую краевую задачу