6.1. Введение в разностные методы

При решении краевых задач, возникающих на практике аналитические методы решения трудно применимы. Одним из приближенных численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток. Идея метода заключается в следующем. Для простоты, ограничимся случаем только функции двух переменных, и будем полагать, что решение уравнения ищется на квадратной области единичного размера (этого можно добиться, нормируя и обезразмеривая переменные задачи). Разобьем область сеткой. Шаг сетки по оси x и по оси y, вообще говоря, может быть разный. По определению частная производная равна

. _(6.1)

Если рассматривать функцию только в узлах сетки, то частную производную можно записать (аппроксимировать) в форме

, (6.2)

где узел соответствует точке .

Полученное выражение называется правой конечной разностью и имеет специальное обозначение. Название связано с тем, что для вычисления производной в точке используются значение функции в этой точке и точке, лежащей правее. Очевидно, что сходное выражение можно было бы получить, используя точку, лежащую слева.

. (6.3)

Такое выражение называется левой конечной разностью. Можно записать центральную конечную разность, найдя среднее арифметическое этих выражений. Введенные конечные разности называются разностными производными первого порядка.

Теперь получим выражения для вторых производных:

. (6.4)

В данном случае для нахождения производной мы использовали симметричные точки. Однако, очевидно, можно было бы использовать точки с несимметричным расположением.