3.1. Программное обеспечение цифровой фильтрации сигналов и трендов

В последнее время широкое распространение получили дискретные системы управления и дискретные системы передачи информации. В основу работ таких систем положена дискретная (цифровая) обработка информации и дискретные (цифровые) сигналы, которые описываются последовательностями отсчетных значений в дискретном множестве точек. В таких системах обычно вначале аналоговый сигнал подвергается дискретизации по времени, квантованию по уровню и цифровому кодированию. После этого в цифровом фильтре кодированная информация подвергается математической обработке и на выходе фильтра преобразуется в аналоговый сигнал. Поэтому важно обратить внимание на алгоритм дискретной обработки сигнала.  Особенности дискретной фильтрации позволяют выяснить структуру спектра дискретизированного сигнала, состоящего из бесконечного числа повторяющихся спектров исходного аналогового сигнала. Сигнал на выходе цифрового фильтра представляет результат дискретной свертки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра является преобразованием Фурье импульсной характеристики и представляет собой периодическую функцию частоты с периодом равным частоте дискретизации. Возможности цифровой фильтрации значительно расширяются, если ввести обратную связь. Такие фильтры называются рекурсивными. Математическим аппаратом для исследования цифровых фильтров и описания дискретных сигналов служат дискетное преобразование Фурье и его разновидность - быстрое преобразование Фурье, а также дискретное преобразование Лапласа и метод Z - преобразования, позволяющий успешно исследовать характеристики фильтров высоких порядков. При цифровой обработке сигналов возникает специфическая погрешность, называемая шумом квантования. Необходимо знать основные характеристики этой погрешности, а также характеристики шума округления и быстродействия арифметического устройства цифрового фильтра. В сложных системах управления сегодня применяются наблюдатели состояния (в литературе также встречается термин “построители состояния”). Наиболее распространенным в системах автоматического управления наблюдателем состояния является фильтр Калмана, но при построении многомерной структуры системы управления нецелесообразно применять такое сложное и относительно дорогостоящее устройство, как фильтр Калмана, опыт показывает, что достаточно ограничится применением более простого экспоненциального фильтра. 1. Основы цифрового фильтра Сигналы в реальных системах в отличие от идеализированных представлений функций в математическом анализе обладают двумя дополнительными свойствами: 1) наличием информационной и шумовых компонент в структуре сигнала; 2) разверткой в реальном времени. Наличие информационной и шумовых компонент говорит о том, что любой реальный сигнал   может быть представлен в виде комбинации информационного сигнала и помехи:  (3.1) где   – информационный сигнал, – помеха. Развертка сигнала в реальном времени говорит о том, что мы не знаем будущего поведения сигнала и вынуждены основывать вычисления в рамках автоматизированной системы, используя только прошлое поведение сигнала. Наглядно, это может представить соотношением (3.2) где   – текущий момент времени,  – интервал прогноза,  – интервал ретроспективы. В данной работе рассматриваются системы реального времени. Поэтому ограничение реального времени (3.2)необходимо учитывать при построении алгоритмов обработки информации. Производить обработку зашумленных сигналов в автоматизированных системах нерационально. Помехи вызывают перегрузку вычислительных ресурсов и искажают информационные процессы. Поэтому все зашумленные сигналы должны пройти фильтрацию. Фильтрацию сигналов можно выполнить как аналоговым, так и цифровым способом на основе цифровых фильтров. В настоящее время теория цифровой фильтрации представляет собой обширный раздел теории автоматического управления. Разработаны самые разнообразные фильтры для решения конкретных задач. Созданы общие теории фильтрации, базовыми из которых являются теория фильтров Винера, фильтров Калмана, Луенбергера и др. Экспоненциальный фильтр первого порядка позволяет приближенно определить измеряемую координату и её производную. Построение экспоненциальных фильтров базируется на представлении информационной составляющей фильтруемого сигнала в виде ряда  (3.3) где   – координатные функции ряда;  – проекции сигнала. Отметим, что ряд (3.3) построен с учетом фактора реального времени. Разложение сигнала в ряд осуществляет в ретроспективе с использованием уже известных значений сигнала. В роли координатных функций могут быть использованы различные функции: гармонические, степенные, ортогональные полиномы и др. Ниже будет рассмотрен случай использования степенных функций. Таким образом, информационную составляющую сигнала будем представлять в виде (3.4) В данном случае ряд (3.4) можно сопоставить с разложением функции   в ряд Тейлора в точке   – текущий момент времени:  (3.5) где   – производные  -го порядка сигнала  Сравнение (3.5), (3.4) позволяет вывести формулы (3.6) Соотношения (3.6) показывают связь между проекциями информационного сигнала и его производными. Полученные подобным образом производные будем называть относительно исходного сигнала   гладкими производными. Таким образом, гладкой производной зашумленного сигнала  , будем называть производные   его информационной составляющей  . В отличие от обыкновенных производных гладкие производные сигнала могут быть вычислены любой степени. Рассмотрим ошибку представления сигнал   в виде ряда (3.4): (3.7) При выводе цифрового фильтра нас будут интересовать не мгновенные значения ошибки, а усредненные. Для усреднения ошибки (3.7) введем оператор экспоненциального усреднения: (3.8) Структурная схема оператора экспоненциального усреднения Рис. 3.1. Структура оператора экспоненциального усреднения Из рис. 3.1 видно, что оператор экспоненциального усреднения осуществляет усреднение с помощью апериодического фильтра квадрата ошибки. При этом параметр Т играет роль постоянной времени усредняющего фильтра. В принципе здесь можно использовать и более сложные фильтры, однако это приводит к усложнению задачи. Постановка задачи фильтрации следующая. Дана экспоненциально-средняя ошибка представления сигнала (ЭКСО) (3.9) Необходимо найти проекции сигнала  , исходя из критерия минимума ошибки  . Задача решается на основе необходимого (в данном случае и достаточного) условия минимума функции (3.9) попроекциям  : Необходимым условием минимума ЭКСО по проекциям   является равенство нулю частных производных (3.10) Исходя из (3.9), (3.10) получим систему уравнений (3.11) Систему уравнений (11) можно записать в каноническом виде (3.12) Введем коэффициенты (3.13) и моменты сигнала (3.14) Тогда система уравнений (4) примет вид (3.15) В матричном виде (3.16) где  Формальное решение уравнения (3.8)  (3.17) где  Рассмотрим определение моментов сигнала. Исходную формулу (3.14) можно представить в виде  (3.18) где  Производные функций (3.18) имеют вид  (3.19) Для численного интегрирования дифференциальных уравнений (3.19) воспользуемся неявным методом Эйлера, основанного на формулах  (3.20) Неявный метод Эйлера обладает численной устойчивостью при интегрировании на фоне помех. Применение неявного метода Эйлера к системе дифференциальных уравнений (3.19) дает систему рекуррентных соотношений  (3.21) Конечный результат решения определяет систему рекуррентных соотношений экспоненциального фильтра.  (3.22) здесь   – значение вектора проекции сигнала для момента времени  ,   – значение вектора моментов сигнала для момента времени  .  – значение исходного сигнал для момента времени  ;  – матрица постоянных коэффициентов,  – постоянная времени фильтра,  – шаг квантования по времени. Моменты сигнала   порядка в общем случае определяются формулой  (3.23) Соотношение (3.23) определяет рекуррентное вычисление моментов. Матрицы постоянных коэффициентов   для некоторых значений порядков “n” фильтра приведены ниже. Формула вычисления матрицы   в общем случае приведена выше. Общая структура алгоритма оценки проекций сигнала приведен на рис. 3.2 Рис. 3.2 Алгоритм фильтра состоит из двух частей:   – вычисление моментов   – сигнала  ,   – вычисление проекций   сигнала. 2. Фильтрация измерительных сигналов Сигналы, поступающие в автоматизированную систему от измерительных приборов, часто зашумлены помехами, поэтому необходимо их подвергать фильтрации. Далее, если сигналы в дальнейшей алгоритмической обработке используются для вычисления производных и в других операциях, обладающих низкой помехоустойчивостью, то необходимо обеспечить определенную степень гладкости сигнала. Для достижения указанных целей может быть использованы экспоненциальные фильтры. При этом порядок фильтра выбирается равным требуемому порядку гладкости фильтрованного сигнала. В случае простой фильтрации информационный сигнал принимается равным нулевой проекции исходного сигнала . В случае если необходимо скорректировать запаздывание сигнала, возникающие в трактах обработки сигналов, необходимо использовать формулу прогноза В общем случае сигнал может быть искажен динамическими свойствами измерительного тракта (3.24) где   – исходный измерительный сигнал;  – сигнал, поступающий в систему;  – динамический оператор измерительного тракта. Компенсацию динамических искажений можно формально представить в виде (3.25) где  Оператор   в общем случае имеет вид (3.26) где   – постоянные коэффициенты;  – передаточная функция, степень числителя которой меньше степени знаменателя. В интегральном виде соотношение (3.25) имеет вид: (3.27) Производные   в выражении (3.27) вычисляются с помощью экспоненциального фильтра: (3.28) где   – проекции сигнала  . Экспоненциальный фильтр дает разложение сигнала   в ряд (3.29) Подстановка (3.29) в интегральное соотношение (3.27) дает следующее: (3.30) где   – момент   - го порядка передаточной функции  : (3.31) В операторной форме момент   - го порядка определяется соотношением (3.32) В итоге формула компенсации динамических искажений (3.27) примет вид:  (3.33) 3. Реализация регуляторов и корректирующих звеньев В автоматизированных системах промышленного применения, как правило, используются ПИД – регуляторы, обеспечивающие пропорциональный, интегральный и дифференциальный законы регулирования. Указанных законов достаточно для регулирования технологических процессов широкого класса. Обычно ПИД – регуляторы входят в состав стандартного математического обеспечения АСУ ТП. Однако при работе с зашумленными сигналами может потребоваться применение помехоустойчивого алгоритма ПИД – регулятора. Подобный алгоритм может быть построен на основе использования экспоненциальных фильтров. Алгоритм ПИД – регулятора реализует следующий закон регулирования: (3.34) где   – ошибка регулирования;  – настраиваемые коэффициенты. С помощью экспоненциального фильтра ошибку   можно представить в виде ряда: где   проекции сигнала  В выражении (3.34) соответственно можно сделать подстановки В результате получим рекуррентное выражение ПИД – регулятора (3.35) Расчет корректирующих звеньев является типовой операцией при проектировании систем автоматического регулирования (СФР). Например, пусть задан желаемый оператор   замкнутой САР. Реальный оператор имеет вид  (3.35) где   – оператор регулятора;  – оператор объекта регулирования. Для того, чтобы оператор замкнутой САР совпадал с желаемым, введем последовательно с регулятором корректирующее звено  . В результате получим уравнение  (3.36) Решение уравнения (3.36) (3.37) Полученное аналитическое выражение корректирующего звена (3.37) является сложным по структуре и в общем случае физически нереализуемым, так как степень числителя оператора   будем больше степени знаменателя. Для реализации звена (3.36) можно воспользоваться экспоненциальным фильтром. Процедура его применения аналогична ранее рассмотренной. Оператор корректирующего звена представляется в виде (3.26) с разделителем дифференциальной и интегральной части. Дифференциальная часть вычисляется с использованием экспоненциального фильтра по формулам (3.28). Интегральная часть также вычисляется с использованием экспоненциального фильтра, но по формуле (3.30). Порядок используемого фильтра определяется условиями решаемой задачи. Общее представление операторов с помощью экспоненциальных фильтров дается формулой (3.33). Подобное представление является приближенным. Однако увеличивая порядок фильтра и уменьшая его постоянную времени можно теоретически сколь угодно точно приблизиться к исходному оператору. На практике это сделать невозможно вследствие наличия помех. Для фильтрации помех необходимо увеличивать постоянную времени фильтра и снижать его порядок, что влечет за собой снижение точности представления. Поэтому при проектировании фильтров необходимо искать разумный компромисс. 4. Прогнозирование трендов Тренд – это временной ряд наблюдаемых значений параметров. Прогнозирование трендов представляет собой прогноз изменения параметров на определенный интервал прогноза. Прогнозирование трендов является одной из важных задач, которые должно выполнять математическое обеспечение операторских станций автоматизированных систем. При работе с трендами математическое обеспечение операторской станции прежде всего должно обеспечивать интерполяцию и экстраполяцию дискретного ряда значений параметров. Это можно сделать на основе обработки временного ряда изменения параметра  (3.38) экспоненциальным фильтром. В результате будет получена эмпирическая формула временного ряда  (3.39) С помощью формулы (3.39) при   решается задача интерполяции временного ряда, при   – задача экстраполяции. На основе указанных задач осуществляется визуализация непрерывных графиков изменения параметров на дисплее операторской станции. Рассмотрим далее задачу прогнозирования изменений параметров объекта управления. Прежде всего отметим, что задача прогнозирования отличается от задачи экстраполяции тем, что решается с использованием модели объекта управления. Это позволяет получить прогноз на больший интервал прогнозирования, чем при экстраполяции. Под экстраполяцией понимается обычно прогнозирование на один шаг процесса. Прогнозирование с моделью позволяет получить прогнозные значения процесса на множество шагов вперед. Пусть модель процесса описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (3.40) В операторной форме модель (3.40) имеет вид  (3.41) При решении задачи прогнозирования модель процесса строится таким образом, чтобы входной сигнал   был белым шумом. Белый шум – это полная неопределенность. Поэтому, если удалось описать оператором (3.41) все закономерности формирования наблюдаемого процесса  , то входной сигнал   должен быть белым шумом. В противном случае модель (3.40) неполна и необходимо дополнительно провести исследование механизма формирования сигнала  . Оператор (3.41), удовлетворяющий указанному выше условию (  – белый шум), называется формирующим фильтром процесса  . Прогнозное значение процесса   получается как общее решение уравнения (3.40) формирующего фильтра , (3.42) где   – общее решение однородного уравнения;  – весовая функция оператора (3.41). Функция (3.42) является случайной, поэтому применим к ней операцию математического ожидания. При этом примем во внимание следующее: так как  где   – операция математического ожидания. В результате получим, что прогноз процесса   определяется решением однородного уравнения  (3.43) при начальных условиях   (3.44) Начальные условия (3.44) определяются на основе обработки сигнала   экспоненциальным фильтром. Процедура прогноза процессов в многомерных динамических системах строится аналогично. В настоящее время теория цифровой фильтрации представляет собой обширный раздел теории автоматического управления. Разработаны самые разнообразные фильтры для решения конкретных задач. Созданы общие теории фильтрации, базовыми из которых являются теория фильтров Винера, фильтров Калмана, Луенбергера и др. В данной работе были рассмотрены методы экспоненциальной фильтрации, позволяющие получить достаточно простые и эффективные цифровые фильтры.