Прямое и обратное -преобразование

Прямое -преобразование последовательности определяется выражением

.

Обратное -преобразование

,

где – контур, расположенный в области сходимости и охватывающий начало координат, направление обхода контура – против часовой стрелки.

Теорема о вычетах:

,

где – изолированные полюсы, находящиеся внутри контура интегрирования. Если – полюс порядка , то

.

Свойства -преобразования:

а) линейность

б) сдвиг последовательности

в) отражение последовательности

г) умножение на экспоненту

д) умножение на линейную последовательность

е) переход к комплексно-сопряженной последовательности

ж) свертка последовательностей

з) произведение последовательностей

3. Прямое и обратное преобразование Фурье

Прямое преобразование Фурье определяется выражением

.

Для абсолютно суммируемой последовательности ряд в правой части выражения сходится равномерно к непрерывной функции аргумента .

Обратное преобразование Фурье определяется выражением

, .

4. Формулы Эйлера

,

,

.

5. Некоторые неравенства

,

,

– неравенство Коши – Буняковского (Шварца)

6. Свойства -функции Дирака

а) , б) .

7. Формула суммирования Пуассона

.

8. Спектральные плотности некоторых сигналов

а) ,

б) ,

в) .

9. Некоторые числовые суммы

а) , б) ,

в) .

10. Геометрическая прогрессия

Сумма геометрической прогрессии

, при ,

где , , – первый член, – знаменатель прогрессии.

Частичная сумма геометрической прогрессии .