5. Вычислительный эксперимент
Поставленная задача синтеза управления была рассмотрена на примере системы уравнений осциллятора Дуффинга [19]. Из заданных начальных условий система должна прийти в терминальную точку (0,0) за минимальное время.
Осциллятор Дуффинга
Осциллятор Дуффинга представляет собой механическую систему, которая состоит из тонкой металлической стрелки и двух магнитов внутри стабильной рамки. Стрелка является достаточно тонкой, поэтому стрелка прилипает к одному магниту и останется в той же положений пока на систему не подействует другая сила. Существует сила, которая периодически воздействует на рамку и не даёт стрелке остаться в одном положении. Чем большая сила влияет на рамку, тем больше стрелка будет колебаться между двумя магнитами, а в случае уменьшения этой силы, стрелка будет стремиться к одному магниту.
Рис. 10. Осциллятор Дуффинга
Осциллятор Дуффинга можно представить следующими уравнениями [20]:
, (20)
Где, - точка фиксации конца стрелки;
- магнитуда периодической силы, которая действует на рамку;
- коэффициент затухания (всегда больше или равен нулю);
- частота силы.
Следующее уравнение описывает силу, которая возвращает стрелку к точке её равновесия:
, (21)
Нефорсированный осциллятор Дуффинга
Обычный вид системы Дуффинга - нефорсированный (стабильный).
Это происходит, когда F = 0. Уравнение системы будет выглядеть следующим образом:
, (22)
Представляем уравнение (22) в виде дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть тогда:
(23)
Отсюда можно найти полагая, что и ,
(24)
После проведения ряда экспериментов над системой Дуффинга с разными коэффициентами затухания, с разными значениями и разными начальными условиями, были получены следующие результаты:
В таблице 4 представлены параметры генетического алгоритма использованного в программе:
Таблица. 4. Параметры генетического алгоритма данной программе
Параметр |
Значение |
|
Размер популяции (Lenppl) |
72 |
|
Число поколений (Niter) |
32 |
|
Число пар в одном поколении |
36 |
|
Число функционалов |
2 |
Исследование 1:
Условия запуска:
Таблица. 5. Результаты исследования № 1
№ запуск |
(с) |
Время работы программы (с) |
||
1 |
2.77 |
0.009 |
654 |
|
2 |
2.54 |
0.004 |
588 |
|
3 |
2.26 |
2.5 |
528 |
|
4 |
6.67 |
5.78 |
424 |
|
5 |
8.15 |
0.0001 |
623 |
|
6 |
6.6 |
6 |
523 |
|
7 |
6.85 |
2.59 |
725 |
|
8 |
4.51 |
4.16 |
640 |
|
9 |
10 |
0.0013 |
835 |
|
10 |
4.03 |
7.12 |
709 |
После проведения 10 запусков с одинаковыми параметрами, были получены результаты в Таблице 5. Далее представлены графики управления и фазовой траектории самого лучшего результата:
Рис. 11. Фазовая траектория Запуска № 10
Рис. 12. Управление u(t) запуска № 10
Функция управления № 10 имеет следующий вид:
.
Исследование 2:
Условия запуска:
Таблица. 6. Результаты исследования № 2
№ запуск |
(с) |
Время работы программы(с) |
||
1 |
10 |
0.0015 |
682 |
|
2 |
10 |
0.0013 |
662 |
|
3 |
8.62 |
0.00027 |
790 |
|
4 |
7.15 |
0.00036 |
623 |
|
5 |
8.69 |
0.00044 |
786 |
|
6 |
9.96 |
0.00061 |
633 |
|
7 |
10 |
0.0005 |
711 |
|
8 |
3.02 |
2.257 |
600 |
|
9 |
9.35 |
0.0008 |
691 |
|
10 |
6.55 |
3.36 |
874 |
После проведения 10 запусков с одинаковыми параметрами, были получены результаты в Таблице 6. Далее представлены графики управления и фазовой траектории самого лучшего результата:
Рис. 13. Фазовая траектория Запуска № 8
Рис. 14. Управление u(t) запуска № 8
Функция управления № 8 имеет следующий вид:
.
Исследование 3:
Условия запуска:
Таблица. 7. Результаты исследования № 3
№ запуск |
(с) |
Время работы программы(с) |
||
1 |
8.83 |
0.0001 |
685 |
|
2 |
3.83 |
0.0004 |
628 |
|
3 |
9.94 |
0.0009 |
338 |
|
4 |
3.94 |
2.3 |
621 |
|
5 |
3.51 |
1.26 |
589 |
|
6 |
3.64 |
1.66 |
906 |
|
7 |
10 |
0.0017 |
396 |
|
8 |
5 |
9.57 |
768 |
|
9 |
8.69 |
0.0007 |
482 |
|
10 |
3.19 |
2.77 |
704 |
После проведения 10 запусков с одинаковыми параметрами, были получены результаты в Таблице 7. Далее представлены графики управления и фазовой траектории самого лучшего результата:
Рис. 15. Фазовая траектория Запуска № 8
Рис. 16. Управление u(t) запуска № 8
Функция управления № 8 имеет следующий вид:
.
Исследование 4:
В исследование № 4 были зафиксированы , а начальные точки поиска изменены. Было проведено 4 запуска, представленные в таблице:
Таблица. 8. Результаты исследования № 4
№ запуск |
(с) |
Время работы программы(с) |
|||
1 |
10 |
0,009 |
617 |
||
2 |
9 |
9,4* |
481 |
||
3 |
10 |
0,0019 |
546 |
||
4 |
10 |
0,0013 |
509 |
Рис. 17. ФТ для всех запусков в исследование № 4
Рис. 18. Управление u(t) запуска № 2
На рис. 18 представлен график функции управления №2, которая имеет наилучшие значение функционала в эксперименте № 4.
.
Заключение
В данной дипломной работе было осуществлено решение следующих задач:
1) Разработан и исследован метод грамматической эволюции для решения задачи синтеза системы управления, который является методом символьной регрессии. Определены его свойства и преимущества.
2) Рассмотрена БНФ-форма записи, с помощью которой была построена функция из набора правил и вектора чисел.
3) Программа, реализующая алгоритм для решения задачи оптимального управления и синтеза системы управления на основе генетического программирования с применением грамматической эволюции разработана в среде Eclipse Indigo. Несмотря на всю представленную сложность, алгоритм управления можно реализовать на ЭВМ.
4) На основе метода грамматической эволюции и генетического алгоритма разработан алгоритм для решения задачи синтеза системы управления и получено управление объектом (осциллятор Дуффинга).
5) Исследован объект осциллятор Дуффинга и в виде системы дифференциальных уравнений был реализован в программе. Сделано множество запусков программы и были получены результаты, которые представлены в виде таблиц и графиков.
- Введение
- Основные сокращения и обозначения
- 1. Постановка задачи синтеза системы управления
- 2. Методы поиска оптимального управления
- 2.1 Принцип Максимума Понтрягина
- 2.2 Метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР)
- 2.3 Метод аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов (АКАР)
- 2.4 Метод динамического программирования Беллмана
- 3. Символьная регрессия
- 1) генетическое программирование (ГП)
- 2) грамматическая эволюция (ГЭ)
- 3) аналитическое программирование (АП)
- 3.3 Аналитическое Программирование (АП)
- 3.4 Сетевой оператор
- 4.1 Генетический алгоритм
- 4.2 Грамматическая эволюция
- 5. Вычислительный эксперимент
- Список литературы
- 2. Функциональный анализ и синтез систем управления
- 2. Параметрический анализ и синтез систем управления
- 2. Решение задач синтеза систем управления
- 11. Структурный анализ в процедурах исследования систем управления.
- Методы параметрического синтеза законов управления.
- Понятие структурного и параметрического синтеза
- Билет10 Постановка задач на моделирование и анализ динамических свойств параметрических систем управления.
- 5.4 Задачи структурного и параметрического синтеза
- 17. Архитектура распределенной системы структурно-параметрического синтеза