5. Вычислительный эксперимент

Поставленная задача синтеза управления была рассмотрена на примере системы уравнений осциллятора Дуффинга [19]. Из заданных начальных условий система должна прийти в терминальную точку (0,0) за минимальное время.

Осциллятор Дуффинга

Осциллятор Дуффинга представляет собой механическую систему, которая состоит из тонкой металлической стрелки и двух магнитов внутри стабильной рамки. Стрелка является достаточно тонкой, поэтому стрелка прилипает к одному магниту и останется в той же положений пока на систему не подействует другая сила. Существует сила, которая периодически воздействует на рамку и не даёт стрелке остаться в одном положении. Чем большая сила влияет на рамку, тем больше стрелка будет колебаться между двумя магнитами, а в случае уменьшения этой силы, стрелка будет стремиться к одному магниту.

Рис. 10. Осциллятор Дуффинга

Осциллятор Дуффинга можно представить следующими уравнениями [20]:

, (20)

Где, - точка фиксации конца стрелки;

- магнитуда периодической силы, которая действует на рамку;

- коэффициент затухания (всегда больше или равен нулю);

- частота силы.

Следующее уравнение описывает силу, которая возвращает стрелку к точке её равновесия:

, (21)

Нефорсированный осциллятор Дуффинга

Обычный вид системы Дуффинга - нефорсированный (стабильный).

Это происходит, когда F = 0. Уравнение системы будет выглядеть следующим образом:

, (22)

Представляем уравнение (22) в виде дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть тогда:

(23)

Отсюда можно найти полагая, что и ,

 (24)

После проведения ряда экспериментов над системой Дуффинга с разными коэффициентами затухания, с разными значениями и разными начальными условиями, были получены следующие результаты:

В таблице 4 представлены параметры генетического алгоритма использованного в программе:

Таблица. 4. Параметры генетического алгоритма данной программе

Исследование 1:

Условия запуска:

Таблица. 5. Результаты исследования № 1

После проведения 10 запусков с одинаковыми параметрами, были получены результаты в Таблице 5. Далее представлены графики управления и фазовой траектории самого лучшего результата:

Рис. 11. Фазовая траектория Запуска № 10

Рис. 12. Управление u(t) запуска № 10

Функция управления № 10 имеет следующий вид:

.

Исследование 2:

Условия запуска:

Таблица. 6. Результаты исследования № 2

После проведения 10 запусков с одинаковыми параметрами, были получены результаты в Таблице 6. Далее представлены графики управления и фазовой траектории самого лучшего результата:

Рис. 13. Фазовая траектория Запуска № 8

Рис. 14. Управление u(t) запуска № 8

Функция управления № 8 имеет следующий вид:

.

Исследование 3:

Условия запуска:

Таблица. 7. Результаты исследования № 3

После проведения 10 запусков с одинаковыми параметрами, были получены результаты в Таблице 7. Далее представлены графики управления и фазовой траектории самого лучшего результата:

Рис. 15. Фазовая траектория Запуска № 8

Рис. 16. Управление u(t) запуска № 8

Функция управления № 8 имеет следующий вид:

.

Исследование 4:

В исследование № 4 были зафиксированы , а начальные точки поиска изменены. Было проведено 4 запуска, представленные в таблице:

Таблица. 8. Результаты исследования № 4

Рис. 17. ФТ для всех запусков в исследование № 4

Рис. 18. Управление u(t) запуска № 2

На рис. 18 представлен график функции управления №2, которая имеет наилучшие значение функционала в эксперименте № 4.

.

Заключение

В данной дипломной работе было осуществлено решение следующих задач:

1) Разработан и исследован метод грамматической эволюции для решения задачи синтеза системы управления, который является методом символьной регрессии. Определены его свойства и преимущества.

2) Рассмотрена БНФ-форма записи, с помощью которой была построена функция из набора правил и вектора чисел.

3) Программа, реализующая алгоритм для решения задачи оптимального управления и синтеза системы управления на основе генетического программирования с применением грамматической эволюции разработана в среде Eclipse Indigo. Несмотря на всю представленную сложность, алгоритм управления можно реализовать на ЭВМ.

4) На основе метода грамматической эволюции и генетического алгоритма разработан алгоритм для решения задачи синтеза системы управления и получено управление объектом (осциллятор Дуффинга).

5) Исследован объект осциллятор Дуффинга и в виде системы дифференциальных уравнений был реализован в программе. Сделано множество запусков программы и были получены результаты, которые представлены в виде таблиц и графиков.