2.4.2. Быстрое умножение матриц
Оценим трудоемкость обычного умножения двух матриц n×n. Трудоемкость будет иметь порядок n3, т.к. в матрице-результате перемножения будет n×n = n2 элементов и каждый из них вычисляется за n операций попарного умножения и сложения.
Попробуем применить ту же идею, что и быстрого умножения чисел, при перемножении двух матриц n×n. Разделим каждую из них на 4 матрицы вдвое меньшего размера:
Итак, при применении обычных формул блочного произведения матриц получаем рекуррентную формулу:
трудоемкость перемножения матриц вдвое меньшего размера.
трудоемкость сложений.
Соответственно по Теореме 2.2 получаем T(n) = , то есть трудоемкость такая же, как и при обычном умножении.
Однако существуют формулы Штрассена для блочного умножения матриц. В этих формулах будет не 8, а 7 попарных умножений матриц размера .
Формула Штрассена:
M1 = (A2 – A4)(B3 + B4)
M2 = (A1 + A4)(B1 + B4)
M3 = (A1 – A3)(B1 + B2)
M4 = (A1 + A2)B4
M5 = A1(B2 – B4)
(2.11)
M6 = A4 (B3 – B1)
M7 = (A3 + A4)B1
C1 = M1 +M2 – M4 + M6
C2 = M4 + M5
C3 = M6 +M7
C4 = M2 – M3 + M5 – M7
7 умножений и 18 сложений и вычитаний в этих формулах.
Следовательно, по Теореме 2.2 получаем
- Основные понятия. Справочный материал
- Основные понятия
- 1.2. Справочный материал. Сравнение скорости роста основных функций
- 2 Новые быстрые версии старых алгоритмов
- 2.1. Сортировки массивов
- 2.1.1 Метод прямого выбора (SelectSort)
- 2.1.2 Быстрая сортировка методом двоичных вставок (MergeSort)
- 2.2. Преобразование Фурье (бпф)
- 2.2.1. Дискретное преобразование Фурье
- 2.2.2. Полубыстрое преобразование Фурье (ппф)
- 2.2.3. Быстрое преобразование Фурье (бпф)
- 2.3. Быстрая свертка
- 2.3.1. Понятие свертки
- 2.3.2. Обычный и быстрый алгоритм свертки
- 2.4. Быстрое умножение
- 2.4.1. Быстрое умножение чисел
- 1 Суммирование
- 4 Произведения чисел вдвое меньшей
- 2.4.2. Быстрое умножение матриц
- 2.4.3. Очень быстрое умножение числе (алгоритм Шенхаге – Штрассена)
- 3. Задачи на графах
- 3.1. Справочный материал
- 3.2. Поиск минимального остова в связном неориентированном взвешенном графе
- 3.3. Нахождение кратчайшего расстояния
- 3.3.1. Алгоритм Форда – Беллмана
- 3.3.2. Алгоритм Дейкстры
- 3.4. Нахождение диаметра, радиуса и центра графа
- 3.5. Задача об изоморфизме графов
- 3.6. Задача коммивояжера. Её решение методом ветвей и границ.
- Задачи динамического программирования
- Задачи динамического программирования. Её решение методом динамического программирования.
- 4.2. Задача об оптимальном наборе самолетом скорости и высоты
- 4.3. Задача грабителя (задача о рюкзаке)
- 4.4. Задача о перемножении матриц
- 5 Классы p и np
- 5.1 Машина Тьюринга
- 5.2 Недетерменированные машины Тьюринга(ндмт)
- 5.3 Сводимость. Np-полнота.
- 5.4 Иерархия по сложности. Труднорешаемые задачи.
- Классы сложности.
- 6 Неразрешимые задачи
- 6.1 Новая модель алгоритма вычислений.
- 6.2 Нумерация программ
- 6.3 Неразрешимые проблемы
- 6.4 Теорема об ускорении
- Лабораторные работы
- Расчетно-графическое задание
- Ответы к домашним заданиям