Однонаправленные функции

Понятие однонаправленной функции является центральным в криптографии с открытыми ключами. Не являясь протоколами непосредственно однонаправленные функции представляют собой краеугольный камень большинства протоколов.

Однонаправленные функции относительно легко вычисляются, но инвертируются с большим трудом. То есть, зная х просто рассчитать f(x), но по известному f(x) нелегко вычислить х. Здесь, "нелегко" означает, что для вы­числения х пo f(x) могут потребоваться миллионы лет, даже если над этой проблемой будут биться все компьютеры мира.

Хорошим примером однонаправленной функции служит разбитая тарелка. Легко разбить тарелку на тысячу крошечных кусочков. Однако, нелегко снова сложить тарелку из этих кусочков.

Это звучит красиво, но туманно и непонятно. Математически строгого доказательства существования однонаправленных функций нет, нет и реальных свидетельств возможности их построения. Не­смотря на это, многие функции выглядят в точности как однонаправленные: мы можем рассчитать их и, до сих пор, не знаем простого способа инвертировать их. Например, в ограниченной окрестности легко вычислить х², но намного сложнее х^1/2.

Итак, что же хорошего в однонаправленных функциях? Непосредственно их нельзя использовать для шифрования. Сообщение, зашифрованное однонаправленной функцией бесполезно – его невозможно дешифровать. (Упражнение: напишите на тарелке что-нибудь мелкими буквами, разбейте тарелку на качественные крошечные осколки (тарелку лучше завернуть при этом тряпку – чтобы осколки не летели из-под молотка в разные стороны) и затем отдайте их приятелю. Попросите его прочитать сообщение. Посмотрите, как он будет озадачен однонаправленной функци­ей.) Для криптографии с открытыми ключами нам нужно что-то другое.

Однонаправленная функция с люком - это особый тип однонаправленной функции, с секретной лазейкой. Ее легко вычислить в одном направлении и трудно - в обратном. Но если вам известен секрет, вы можете легко рассчитать и обратную функцию. То есть, легко вычислить f(x) по заданному х, но трудно по известному f(x) вычислить х. Однако, существует небольшая секретная информация, у, позволяющая, при знании f(x) и у, легко вычислить х.

В качестве хорошего примера однонаправленной функции с люком рассмотрим часы. Легко разобрать часы на сотни малюсеньких кусочков и трудно снова собрать из этих деталей работающие часы. Но, с секретной ин­формацией – инструкцией по сборке – намного легче решить эту задачу.