3.1. Задания на планирование операции

1. Изделия трех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Времена обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков приведены в табл. 3.1:

Таблица 3.1

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет 10 единиц стоимости для станка 1 и 15 единиц стоимости для станка 2. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Минимальная суточная норма выпуска изделий 2 и 3 составляет α и  шт. соответственно. Цены на изделия типа 1, 2 и 3 равны 85, 70 и 45 единиц стоимости соответственно.

Определить объёмы производства изделий, при которых достигается максимальная суммарная чистая прибыль.

Варианты

1. α = 50 шт.,  = 70 шт.

2. α = 9000 шт.,  = 70 шт.

3. α = 50 шт.,  = 80 шт.

4. α = 9000 шт.,  = 80 шт.

2. Предприятие выпускает три модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Известно, что максимальный суточный объем производства 1-й линии - 60 изделий, 3-й линии - 75 изделий. Минимальная суточная норма выпуска радиоприемников 1-й модели составляет 25 шт., 2-й модели - 40 шт.

На радиоприемник 1-й модели расходуется 10 однотипных элементов, 2-й мо­дели - 8 таких же элементов, 3-й модели - 6 элементов. Максимальный суточный запас этих элементов -  шт. Прибыль от реализации: 1-й модели- α единиц стоимости, 2-й модели - 20 единиц стоимости, 3-й модели - 10 единиц стоимости.

Определить оптимальные суточные объемы производства радиоприемников.

Варианты

1. α = 30 единиц стоимости,  = 800 шт.

2. α = 30 единиц стоимости,  = 1000 шт.

3. α = 24 единиц стоимости,  = 850 шт.

4. α = 24 единиц стоимости,  = 1050 шт.

3. Транспортная компания для перевозки инжира из Багдада в Мекку использует мулов, одногорбых и двугорбых верблюдов. Двугорбый верблюд может перевезти 1000 фунтов, одногорбый - 500 фунтов, а мул - 300 фунтов. За один переход двугорбый верблюд потребляет 3 кипы сена и 40 галлонов воды. Одногорбый верблюд потребляет 2 кипы сена и 30 галлонов воды. Мул - 1 кипу сена и 10 галлонов воды. Пункты снабжения компании, расположенные в различных оазисах вдоль пути, могут выдать не более 900 галлонов воды и 35 кип сена. Верблюды и мулы арендуются у пастуха близ Багдада, арендная плата равна α пиастрам за двугорбого верблюда, 5 пиастрам за одногорбого и 4 пиастрам за мула.

Если компания должна перевезти  фунтов инжира из Багдада в Мекку, сколько надо использовать верблюдов и мулов для минимизации арендной платы пастуху?

Варианты

1. α = 8 пиастр,  = 10000 фунтов.

2. α = 12 пиастр,  = 10000 фунтов.

3. α = 8 пиастр,  = 8000 фунтов.

4. α = 12 пиастр,  = 8000 фунтов.

4. Фирма занимается продажей некоторой продукции. Затраты на рекламу в бюджете ограничены величиной  единиц стоимости в месяц. Каждая минута радио-рекламы обходится в 10 единиц стоимости, телерекламы - в 100 единиц стоимости, рекламы по сети вещания метрополитена - в 5 единиц стоимости. Фирма хотела бы, чтобы время рекламирования товара через радиосеть ровно в 2 раза превышало время рекламы в сети телевидения. Опыт показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в α раз больше объема сбыта, обеспечиваемого 1 минутой рекламы в метро, а объем сбыта, который обеспечивает каждая минута радиорекламы в 5 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого 1 минутой рекламы в метро. Также установлено, что для того, чтобы рекламируемый товар обратил на себя внимание, суммарное время рекламы не должно быть меньше 50 минут.

Определить оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на каждый вид рекламы.

Примечание. При построении математической модели задачу не сводить к задаче с двумя переменными.

Варианты

1. α = 25,  = 5000 единиц стоимости.

2. α = 12,  = 5000 единиц стоимости.

3. α = 25,  = 1600 единиц стоимости.

4. α = 12,  = 1600 единиц стоимости.

5. Процесс изготовления трех видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на двух станках. Время использования каждого из станков - не более 10 часов в сутки. Минимальная суточная норма выпуска изделий 1-го вида - 1 шт., изделий 3-го вида - 2 шт. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия каждого вида приведены в табл. 3.2. Найти оптимальные объемы производства всех изделий.

Таблица 3.2

Варианты

1. α = 3 единиц стоимости,  = 2 единиц стоимости.

2. α = 4 единиц стоимости,  = 2 единиц стоимости.

3. α = 3 единиц стоимости,  = 6 единиц стоимости.

4. α = 4 единиц стоимости,  = 6 единиц стоимости.

6. Обувная фабрика может выпускать три вида обуви: мужскую, женскую и детскую. На каждую пару мужской, женской и детской обуви требуется соответственно клея 20 г, 15 г, и 10 г, кожи – 4 дм², 2 дм², и 1 дм². стоимость мужской, женской и детской обуви с учетом всех работ соответственно равна 200, α и 100 ед. стоимости. Запасы клея составляют 3т., кожи - β м². Опыт показал, что объем производства мужской и детской обуви обычно не превышает объема выпуска женской обуви.

Определить, в каком количестве нужно выпускать все виды обуви, чтобы сум­марная стоимость выпущенной продукции была максимальна, и все имеющиеся ресурсы были использованы полностью.

Варианты

1. α = 300 единиц стоимости,  = 4000 м².

2. α = 300 единиц стоимости,  = 5000 м².

3. α = 100 единиц стоимости,  = 4500 м².

4. α = 300 единиц стоимости,  = 4500 м².

7. Кондитерская фабрика имени 150-летия НТУУ “КПИ” выпускает конфеты трех видов: “ММИО”, “ТАМОПЗ” и “ЭСКС”, причем в изготовлении каждого вида занято два вида оборудования: М1 и М2. На каждую коробку конфет “ ММИО” требуется 3 мин. Ра­боты оборудования М1 и 2 мин. работы оборудования М2. На каждую коробку “ТАМОПЗ” уходит 2 мин. работы оборудования М1 и 3 мин. работы оборудования М2. На каждую коробку конфет “ ЭСКС” уходит 1 мин. работы оборудования М1 и 2 мин. работы обору­дования М2. Оборудование М1 можно использовать только 8 часов в сутки, а М2 – 7 часов. Прибыль от реализации конфет “ ММИО” составляет 20 у.е., конфет “ТАМОПЗ” – α у.е., а конфет “ ЭСКС” - 10 у.е. Минимальная суточная норма выпуска конфет “ТАМОПЗ” - 80 коробок, конфет “ ЭСКС” - β коробок.

Определить, в каком количестве нужно выпускать конфеты каждого вида, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Варианты

1. α = 20 у.е.,  = 70 коробок.

2. α = 20 у.е.,  = 80 коробок.

3. α = 40 у.е.,  = 87 коробок.

4. α = 50 у.е.,  = 60 коробок.

8. На ферме производятся сено, пшеница и соя. Сено дает α долларов прибыли на тонну, пшеница приносит 180 долларов прибыли на 100 бушелей, а одна тонна сои приносит 300 долларов прибыли. Для получения 1 тонны сена требуется 1 акр земли, затраты 1 человеко-часа труда и не требуется удобрений. Для получения 10 бушелей пшеницы требуется 8 акров земли, 3 человеко-часа труда и 1 мешок удобрений. Для получения одной тонны сои требуется 9 акров земли, 4 человеко-часа труда и 1 мешок удобрений. Ферма имеет  акров земли, 150 человеко-часов труда и 40 мешков удобрений. Минимальный суточный объем производства сена составляет 20 т, а пшеницы - 40 бушелей.

Сколько сена, пшеницы и сои нужно выращивать, чтобы полученная от их реализации прибыль была максимальной?

Варианты

1. α = 60 долларов,  = 400 акров.

2. α = 60 долларов,  = 300 акров.

3. α = 80 долларов,  = 400 акров.

4. α = 90 долларов,  = 300 акров.

8. Авиакомпания по заказу армии должна перевезти на некотором участке α человек и  тонн багажа. В распоряжении авиакомпании имеется три типа самолетов, которые можно использовать для перевозки. Самолет типа 1 перевозит 30 пассажиров, 2 т багажа и имеет экипаж из 3 человек. Самолет типа 2 перевозит 65 пассажиров, 4 т багажа и имеет экипаж из 5 человек. Самолет типа 3 перевозит 60 пассажиров, 3 т багажа и имеет экипаж из 4 человек. Эксплуатация 1 самолета типа 1 обходится в 5000 долларов, типа 2 - в 9000 долларов, а типа 3 - в 8000 долларов. Для выполнения заказа необходимым является такое условие: на каждый рейс самолета 1-го типа должно приходится 2 рейса самолета 2-го типа.

Сколько надо использовать самолетов каждого типа, если для формирования экипажей самолетов имеется не более 60 человек?

Варианты

1. α = 700 человек,  = 20 тонн.

2. α = 700 человек,  = 40 тонн.

3. α = 300 человек,  = 20 тонн.

4. α = 350 человек,  = 20 тонн.

8. Небольшая фирма по пошиву женской одежды специализируется на двух видах изделий: ВС1 и ВС2 (плановые задания по выпуску изделий приведены в табл. 3.3.). В изготовлении каждого вида изделия используется два типа швейных машинок. Требуется распределить изготовление изделий по различным швейным машинкам так, чтобы минимизировать суммарные издержки производства при выпол­нении планового задания.

Таблица 3.3

В табл. 3.4. приведены:

• издержки производства (затраты) при пошиве единицы k-того изделия (k=1,2) на i-той швейной машинке (i=1,2);

• ресурсы времени (фонды рабочего времени) швейных машинок;

• производительность i-той швейной машинки (i=1,2) при пошиве k-того (k=1,2) изделия.

Таблица 3.4

Варианты

1. α = 10 ед.стоимости,  = 800 часов.

2. α = 7 ед.стоимости,  = 800 часов.

3. α = 10 ед.стоимости,  =1100 часов.

4. α = 7 ед.стоимости,  = 1100 часов.

8. Бригаде выделили под засев культур К1 и К2 два участка земли площадью 8 и 5 га соответственно. Участки отличаются характером почвы. На каждом из них могут быть засеяны обе или какая-то одна из культур. Средняя урожайность культуры К1 на 1-м участке равна 30 ц/га, культуры К2 - 32 ц/га. Средняя урожайность культуры К1 на 2-м участке равна α ц/га, культуры К2 - 30 ц/га. Реализация одного центнера К1 приносит доход 25 у.е., одного центнера К2 - 30 у.е. Объем сбыта составляет не более  центнеров культуры К1 и не менее 200 центнеров культуры К2

Сколько гектар и на каких посевных участках нужно отвести под каждую культуру, чтобы доход от реализации был максимальным.

Варианты

1. α = 40 ц/га,  = 300 ц.

2. α = 25 ц/га,  = 150 ц.

3. α = 40 ц/га,  = 150 ц.

4. α = 25 ц/га,  = 300 ц.

8. Фирма, выпускающая для армии кожаные изделия, изготовляет 3 типа продукции: А, B и C в комплекте 1:2:4. Каждый тип продукции должен пройти обработку по крайней мере на двух из трех производственных участков: дубильном, раскройном и завершающем. Рабочее время каждого из этих участков в течение месяца ограничено, для дубильного участка оно составляет 320, для раскройного - 400, для завершающего – β часов в месяц.

На изготовление единицы продукции типа А требуется 0,2 часа работы дубильного участка и 0,6 часа работы раскройного участка. На изготовление единицы продукции типа B требуется 0,3 часа и 0,5 часа работы дубильного и раскройного участков соответственно. На изготовление единицы продукции типа C требуется соответственно 0,4 часа, 0,4 часа и 0,8 часа работы дубильного, раскройного и завершающего участков соответственно. С учетом накладных расходов прибыль от реализации единицы продукции типа А составит α единиц стоимости, типа B - 70 единиц стоимости, типа C - 100 единиц стоимости единиц.

Определить, при каком количестве выпускаемых изделий суммарная месячная прибыль фирмы будет максимальна.

Указание. При построении математической модели задачу не сводить к задаче с одной переменной.

Варианты

1. α = 60 единиц стоимости, β = 160 часов.

2. α = 60 единиц стоимости, β = 80 часов.

3. α = 70 единиц стоимости, β = 128 часов.

4. α = 55 единиц стоимости, β = 256 часов.

8. Фирма выпускает ковбойские шляпы трёх фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2, а трудоемкость изготовления шляпы фасона 3 втрое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объем сбыта шляп всех фасонов не превышает  штук. Минимальная суточная норма выпуска шляп 1-го фасона составляет 30 штук, шляп 2-го фасона - 40 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 составляет α у.е., фасона 2 - 5 у.е., а фасона 3 - 10 у.е.

Определите, какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Варианты

1. α = 8 у.е.,  = 800 штук.

2. α = 12 у.е.,  = 800 штук.

3. α = 8 у.е.,  = 200 штук.

4. α = 12 у.е.,  = 200 штук.

8. Предприятие собирается производить сплав, содержащий 30% меди, 30% алюминия. Можно купить исходные сплавы А, В, C, D составы и цены которых приведены в табл. 3.5. Фирма, продающая сплавы А, В, C, D ставит следующее условие: сплава В должно быть куплено не меньше сплава А.

Определить такой набор исходных сплавов, при котором получается требуемый сплав минимальной стоимости.

Таблица 3.5

Примечание: при смешивании ингредиентов свойства сплава являются выпуклыми линейными комбинациями свойств компонентов.

Варианты

1. α = 4,3 единиц стоимости,  = 0,3.

2. α = 4,3 единиц стоимости,  = 0,1.

3. α = 4,0 единиц стоимости,  = 0,1.

4. α = 4,3 единиц стоимости,  = 0,5.

15. Производственная компания выпускает некоторый продукт, являющийся смесью трех ингредиентов. Этот продукт должен обладать следующими свойствами:

• удельный вес <= 1.00;

• содержание кислот >= α % (от общего объема);

• содержание абразивных материалов <= 10 % (от общего объема).

Характеристики этих ингредиентов представлены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Если стоимость ингредиентов равна соответственно 2,  и 3 долларам за галлон, то какой должна быть смесь?

Примечание: при смешивании ингредиентов свойства смеси являются выпуклыми линейными комбинациями свойств компонентов.

Варианты

1. α = 4,  = 1 доллар.

2. α = 4,  = 3 доллара.

3. α = 70,  = 1 доллар.

4. α = 70,  = 2 доллара.

15. Предприятие может работать по трем технологическим процессам (Т1, Т2 и Т3), причем количество выпускаемой продукции А по разным технологическим процессам за единицу времени равно 300, α и 200 штук соответственно. В процессе производства учитываются следующие производственные факторы: сырье 1, сырье 2, электроэнергия и машинное масло. Затраты соответствующих факторов при работе по разным тех­нологическим процессам в течение 1 единицы времени указаны в табл. 3.7.

Особенности работы предприятия заключаются в том, что количество пот­ребленного масла по технологическому процессу Т1, должно быть равно сумме объемов масла, потребленных по технологическим процессам Т2 и Т3. В связи с ограниченными объёмами складских площадей, сырья 1 должно быть использовано не менее 500 единиц.

Таблица 3.7

Найти программу максимального выпуска продукции.

Примечание. При построении математической модели задачу не сводить к задаче с двумя переменными.

Варианты

1. α = 260 штук, β = 300 единиц.

2. α = 300 штук, β = 400 единиц.

3. α = 300 штук, β = 250 единиц.

4. α = 300 штук, β = 200 единиц.

17. В механическом цехе имеется два металлорежущих станка М1 и М2, на которых могут быть изготовлены два типа деталей Д1 и Д2. Время изготовления деталей каждым из станков, ресурсы времени станков и плановые задания указаны в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Распределить задания между станками так, чтобы общее время работы всех станков (при выполнении планового задания) было минимальным

Варианты

1. α = 3 часа, β = 3000 часов.

2. α = 3 часа, β = 1000 часов.

3. α = 2 часа, β = 1600 часов.

4. α = 2 часа, β = 1300 часов.

18. Завод выпускает изделия трех моделей (I, II, III). Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют 4000 и 6000 единиц. Расход ресурсов на одно изделие каждой модели приведен в табл. 3.9.

Таблица 3.9

Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, β и 150 изделий каждой модели соответственно. Удельные прибыли от реализации изделий моделей 1, 2 и 3 составляют 30, α и 50 долларов соответственно.

Определить объемы выпуска изделий каждой модели, при которых прибыль будет максимальной.

Варианты

1. α = 10 долларов, β = 300 изделий.

2. α = 20 долларов, β = 600 изделий.

3. α = 20 долларов, β = 300 изделий.

4. α = 10 долларов, β = 400 изделий.

19. Два механизма I и II могут выполнять два вида земляных работ: А м³ и В м³. В табл. 3.10. указаны ресурсы рабочего времени каждого механизма, производительность механизмов при выполнении различных работ. Определить загрузку оборудования, обеспечивающую максимальный объем работ при соблюдении условия А:В=1:2 и при выполнении не менее β м³ объема работ А.

Таблица 3.10

Варианты

1. α = 30 м³/час, β = 6000 м³.

2. α = 50 м³/час, β = 6000 м³.

3. α = 60 м³/час, β = 6100 м³.

4. α = 70 м³/час, β = 6200 м³.

20. Некоторое предприятие собирается производить ювелирные украшения, выполненные из сплава, который содержит 50% бронзы и 50% серебра. При этом это предприятие имеет возможность приобрести сплавы Спл1, Спл2, Спл3 и Спл4. Составы и цены этих сплавов приведены в табл. 3.11. Условия поставки сплавов Спл1, Спл2 и Спл3 таковы: сплавов Спл2 и Спл3 (в сумме) должно быть куплено не меньше сплава Спл1.

Определить такой набор исходных сплавов, при котором получается требуемый сплав минимальной стоимости.

Таблица 3.11

Примечание: при смешивании ингредиентов свойства сплава являются выпуклыми линейными комбинациями свойств компонентов.

Варианты

1. α = 3.4 единиц стоимости, β = 0.2.

2. α = 3.4 единиц стоимости, β = 0.4.

3. α = 6.4 единиц стоимости, β = 0.2.

4. α = 6.4 единиц стоимости, β = 0.3.

21. Фирма имеет два предприятия, производящих одну и ту же продукцию. Стоимость сырья и издержки производства на этих предприятиях различны. Выпущенная продукция поступает на два оптовых склада, где потребители покупают продукцию фирмы, причем цена продажи продукции на каждом складе своя.

Найти оптимальный план производства и распределения продукции, исходя из данных, приведенных в табл. 3.12 и 3.13.

Таблица 3.12

Таблица 3.13

Варианты

1. α = 240 ед., β = 110 ед.

2. α = 180 ед., β = 110 ед.

3. α = 140 ед., β = 210 ед.

4. α = 150 ед., β = 200 ед.

22. У ткацкой фабрики 20 станков типа 1 и 30 станков типа 2. Станки могут производить два вида тканей: Т1 и Т2. Производительность станков в месяц пред­ставлены в табл. 3.14.

Таблица 3.14

Каждый метр ткани Т1 приносит фабрике доход 5 у.е., ткани Т2 - 10 у.е. Фабрике установлен план, согласно которому она должна произвести за месяц:

 не менее β метров ткани Т1

 не менее 50 метров ткани Т2

Нужно так загрузить станки производством тканей различного вида, чтобы план был выполнен, и при этом месячная прибыль была максимальной.

Варианты

1. α = 40 метров, β = 100 м.

2. α = 40 метров, β = 1200 м.

3. α = 60 метров, β = 1100 м.

4. α = 60 метров, β = 1300 м.

23. Студенческая диета состоит из белков и углеводов. В наличии имеется три вида продуктов: хлеб, картофель и шоколад. Данные, характеризующие содержание белков и углеводов в продуктах и стоимость продуктов приведены в табл. 3.15.

Таблица 3.15

Потребляемая пища должна содержать:

• не менее 6% белков;

• не менее %, но не более 40% углеводов;

Сколько нужно купить картофеля, шоколада и хлеба, чтобы при минимальных затратах выполнить требования диеты.

Варианты

1. α = 13 у.е./кг,  = 22.

2. α = 13 у.е./кг,  = 37.

3. α = 1 у.е./кг,  = 22.

4. α = 1 у.е./кг,  = 37.

24. Два устройства У-I и У-II могут выполнять два вида земляных работ: А м³ и В м³. В табл. 3.16. указаны ресурсы рабочего времени каждого устройства, произ­водительность и стоимость одного часа работы устройств при выполнении различных работ. Найти оптимальную загрузку оборудования, при которой достигали бы минимума суммарные затраты и был выполнен такой объем работ: A=α м³, B= м³.

Таблица 3.16

Варианты

1. α = 6000 м³,  = 5000 м³.

2. α = 3000 м³,  = 5000 м³.

3. α = 6000 м³,  = 2000 м³.

4. α = 3000 м³,  = 2000 м³.

25. Завод выпускает изделия трех моделей (A, B, C). Для их изготовления используется два вида ресурсов, запасы которых составляют α и  единиц. Расход ресурсов на одно изделие каждой модели приведен в табл. 3.17.

Таблица 3.17

Анализ условий сбыта показывает, что количественное соотношение выпуска изделий должно быть таким: А:В:С = 3:2:5. Удельные прибыли от реализации изделий моделей 1, 2 и 3 составляют 30, 20 и 50 ед. стоимости соответственно.

Определить объемы выпуска изделий каждой модели, при которых прибыль будет максимальной.

Примечание. При построении математической модели не сводить задачу к задаче с одной переменной.

Варианты

1. α = 5000 единиц,  = 7000 единиц.

2. α = 3000 единиц,  = 7000 единиц.

3. α = 5000 единиц,  = 2700 единиц.

4. α = 1000 единиц,  = 2700 единиц.