14. Поверхности вращения общего вида. Определитель поверхности. Построение главного меридиана. Поверхности вращении второго порядка.
Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением линии вокруг некоторой неподвижной прямой. Неподвижная прямая называется осью вращения поверхности, а вращающаяся линия – образующей.
Из определения поверхности вращения вытекает, что для ее образования необходимо иметь ось вращения и образующую, другими словами, геометрическая часть определителя Ф (i, ) поверхности вращения Ф должна состоять из оси вращения i и образующей . Эти условия достаточны, чтобы реализовать закон вращения – закон, позволяющий построить непрерывное множество последовательных положений образующей (непрерывный каркас поверхности),или, иначе, любое положение образующей. На комплексном чертеже любую поверхность вращения можно задать проекциями ее определителя, т. е. проекциями образующей и оси вращения i.
Каждая точка образующей при вращении вокруг оси i описывает окружность m (параллель поверхности), расположенную в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Центр этой окружности (параллели) находится в точке пересечения оси вращения с плоскостью, а радиус равен расстоянию от взятой точки образующей до оси вращения.
Ось вращения i поверхности Ф параллельна плоскости П2. Тогда плоскости параллелей будут перпендикулярны к плоскости П2. Поэтому каждая параллель проецируется на П2 отрезком прямой p2, равным ее диаметру. На плоскость П1 параллель проецируется окружностью p1, радиус которой равен радиусу данной параллели.
Все точки образующей при вращении поворачиваются на равные углы за равные промежутки времени. Так как образующая состоит из непрерывного множества точек, то параллели, описываемые этим множеством точек, образуют непрерывный каркас параллелей поверхности.
Линия пересечения поверхности вращения плоскостью α, проходящей через i, называется меридианом поверхности, а сама плоскость – меридиональной. Если при этом плоскость параллельна плоскости проекций, то меридиан называется главным меридианом поверхности. Меридиан поверхности может служить образующей этой поверхности.
Через ось вращения поверхности можно провести непрерывное множество меридиональных плоскостей. Они рассекут поверхность по непрерывному множеству меридианов, образующих каркас меридианов поверхности. Все меридианы пересекаются с параллелями, образуя ортогональную сеть поверхности вращения. Сеть эта называется ортогональной потому, что меридианы пересекаются с параллелями под прямыми углами.
Определитель поверхности - совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. Различают две части определителя: геометрическая часть указывает на геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых образовывается поверхность; обозначается; алгоритмическая (описательная) часть содержит указания о характере изменения образующей и законе ее перемещения; обозначается.
Поверхности вращения. При вращении образующей каждая точка А, В, ... ее описывает окружность mА, mв ... с центром ОА, Оb, на оси вращения i. Плоскости этих окружностей перпендикулярны к i и взаимно параллельны. Поэтому сами окружности получили название параллелей поверхности. Параллель, диаметр которой больше диаметра смежных с ней параллелей, называется экватором; параллель, диаметр которой меньше диаметра смежных с ней параллелей – горлом или горловиной. В общем случае поверхность вращения может иметь несколько экваторов и горловин.
Если образующая поверхности составлена из пересекающихся линий или имеет точки излома, возврата и узловые, то параллели, образованные вращением таких особых точек и точек пересечения, делят поверхность вращения на части, пересекающиеся по этим параллелям.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.
Типы поверхностей второго порядка:
Цилиндрические поверхности
Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности S.
Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.
Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.
Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.
Гиперболический параболоид
Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».
Уравнение гиперболического параболоида:
При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает гиперболу.
При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.
Эллиптический параболоид
Уравнение эллиптического параболоида:
- Прямоугольное параллельное проецирование.
- Обратимость проекционного чертежа.
- Двух- и трех- картинный чертеж точки.
- Комплексный чертеж прямой. Прямая общего и частного положения.
- Прямая в проекциях с числовыми отметками. Способы задания прямой.
- Плоскость в проекциях с числовыми отметками. Способы задания.
- Основная позиционная задача в проекциях с числовыми отметками.
- 10. Вторая позиционная задача – построение линий пересечения двух плоскостей.
- 14. Поверхности вращения общего вида. Определитель поверхности. Построение главного меридиана. Поверхности вращении второго порядка.
- 15. Проекции с числовыми отметками. Построение точек пересечения прямой с поверхностью.
- 16. Позиционные задачи на комплексном чертеже. Построение точек пересечения прямой с поверхностью.
- 18. Построение топографической поверхности по дискретным данным отметок её точек.
- 19. Преобразование комплексного чертежа. Способы замены плоскостей проекции.
- 20. Преобразование комплексного чертежа. Способ плоско - параллельного перемещения.
- 21. Преобразование комплексного чертежа. Способ вращения.
- 22. Построение точек пересечения прямой с поверхностью на комплексном чертеже способом секущих плоскостей частного положения.
- 23. Построение линии пересечения гранной и кривой поверхностей. Опорные точки.
- 24. Построение линии пересечения двух кривых поверхностей способом секущих плоскостей частного положения. Опорные точки.
- 25. Способ секущих эксцентрических сфер. Условия применения. Привести пример.
- 26. Конические и цилиндрические сечения.
- 28. Стереографическая проекция