2.3 Модель транспортной задачи

Рассмотрим транспортную задачу, в которой речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей к потребителям.

Пусть имеется m пунктов производства однородного продукта (добыча руды в карьерах, производство автобусов, кондитерских изделий, компьютеров и т.д.) и n пунктов потребления этого продукта. Мощности пунктов производства составляют а_i единиц однородного продукта, а потребности каждого j-го пункта потребления равны единиц. Известны затратына перевозку единицы продукта отi-го поставщика j-му потребителю. Составить такой план перевозок, при котором суммарные затраты на все перевозки были бы наименьшими.

Пусть спрос и предложение совпадают, т.е. Такую транспортную задачу называютсбалансированной (закрытой). При этом предполагается, что вся продукция от поставщиков будет вывезена и спрос каждого из потребителей будет удовлетворен.

Составим математическую модель задачи. Обозначим через количество продукта, перевозимого изi-го пункта производства вj-й пункт потребления. Тогда матрица:

план перевозок.

Матрицу называютматрицей затрат(тарифов).

Внесем исходные данные и перевозки в транспортную таблицу:

Таблица 2.1 – Матрица затрат

Предположим, что транспортные затраты прямо пропорциональны количеству перевозимого продукта. Тогда стоимости перевозок определяются формулой:

,

а суммарные затраты выражаются функцией цели:

которую необходимо минимизировать при ограничениях:

(весь продукт из каждого i-го поставщика должен быть вывезен полностью),

(спрос каждого j – го потребителя должен быть полностью удовлетворен).

Из условия задачи следует, что все

Итак, математическая модель сбалансированнойтранспортной задачи имеет вид:

при ограничениях: