3.8. Десяткові числа з плаваючою комою стандарту іеее754-2008.

Десяткові числа з плаваючою комою є комп'ютерним представленням дійсних десяткових чисел за допомогою скінченної кількості двійкових розрядів.

У випадку бінарних (двійкових) чисел з плаваючою комою дійсне десяткове число спочатку необхідно перевести в двійкову систему числення, представити у вигляді нормалізованої форми (або нормальної форми в окремих випадках), сформувати залишок мантиси та зміщену експоненту (Лабораторна робота №3).

У випадку десяткових чисел з плаваючою комою, дійсні десяткові числа спочатку округлюють до k значущих цифр (k визначається форматом представлення). Далі формують мантису та експоненту таким чином, щоби мантиса представляла собою ціле додатне число. Наступним кроком кодують мантису шляхом заміни десяткових тріад на двійкові щільно упаковані декади, а експоненту представляють за допомогою бінарного зміщеного коду. (Оскільки в загальному випадку k = 3×р+1, то найстарший біт мантиси кодують особливим чином).

В сі десяткові числа з плаваючою комою мають загальний формат, показаний на Рис.4.3:

Рисунок 4.3. Загальний формат чисел з плаваючою комою.

В порівнянні з форматом бінарних чисел з плаваючою комою (Лабораторна робота №3, рис.3.1) добавлено додаткове комбіноване поле G довжиною 5 біт. Це комбіноване поле відіграє потрійну роль:

1. Містить першу десяткову цифру мантиси записану в двійково-десятковому коді.

2. Містить перших два біти зміщеної експоненти.

3. Може кодувати тип числа: а) звичайне, яке визначається формулою (4.14), б) нескінченність, в) не-число (qNaN або sNaN)

Загальна форма запису десяткових чисел з плаваючою комою:

, (4.14)

де М - ціле додатне число. Таким чином перша цифра мантиси може набувати значення від 0 до 9.

Якщо в бінарному форматі перша цифра завжди 1 (для нормалізованих мантис) або 0 (для денормалізованих) і її можна передбачати неявно, тобто не виділяти додаткового розряду на її запис, то для десяткового формату першу цифру мантиси відкидати не можна і для її відображення виділяється 4 двійкові розряди. Ці розряди першої цифри мантиси містяться в полі G.

Решта розрядів мантиси (залишок мантиси М') завжди відображає кількість десяткових цифр кратну 3, або ціле число p десяткових тріад. Кожна тріада кодується двійковою декадою в форматі щільно упакованих десяткових чисел. Таким чином залишок мантиси завжди має довжину кратну 10 бітам: n = 10×p біт і представляє 3×p десяткових розрядів.

Поле Е' містить залишок експоненти, записаної в двійковому зміщеному коді, оскільки старших два біти експоненти також записуються в полі G. Таким чином повна експонента Е має довжину m+2.

Принципи формування комбінованого поля G зрозумілі з Табл.4.4.

Табл.4.4. Кодування комбінованого поля G.

Тут слід зауважити такі моменти:

1. Біти a та b не можуть бути одночасно рівні нулю, вони можуть набувати тільки значень 00, 01 та 10. Оскільки повна довжина експоненти становить m+2, то мінімальне значення зміщеної експоненти становить 000...000 (0), а максимальне - 101...111 (2^m+2-2^m-1).

2. Якщо всі біти поля рівні одиниці (NaN), тоді старший біт залишку експоненти Е' вказує на те, якого типу не-числа є представлені: 0 - qNaN, 1 - sNaN. В такому випадку всі інші біти поля Е' змісту не мають.