1. Введение .

Физические процессы, происходящие в реально существующих системах в большинстве своём чрезвычайно сложны. Найти полное, математически точное их описание чаще всего не представляется возможным, поэтому в физике рассматривается обычно не реальная физическая система (явление), а некая её идеализация, позволяющая свести нашу систему (явление) к возможно более простой и удобной для математического описания. Таким образом мы переходим от физической системы (явления) к её абстрактной модели, а от неё к модели математической, т.е. к системе уравнений, описывающей физические процессы в данной модели.

Все физические процессы так или иначе связаны с течением времени, а, значит, в описывающих их уравнениях неизбежно появляется время в качестве одного из параметров, характеризующих состояние системы. Но в огромном количестве систем, их состояние зависит не только от некоторых величин, но и от быстроты их изменения во времени. Такие системы сводятся, в своём математическом описании, к совокупностям дифференциальных уравнений. Если данные уравнения – линейны, то такая физическая система (а, вернее, её абстрактная модель) называется линейной. В противном случае, такая система называется нелинейной.

Математический аппарат линейных дифференциальных уравнений прекрасно разработан. Основные абстрактные модели линейных систем тщательно проработаны, и их детальное изучение не представляет собой особой проблемы для физики. Иное дело – нелинейные процессы. Рассмотрение физических процессов (в первую очередь, колебательных) в нелинейных системах намного более затруднительно (с позиции получения точного аналитического решения математической модели), но, в тоже время, оно приводит нас к более интересным, общим результатам; в их рамках линейные процессы часто представляют собой лишь некие частные случаи процессов нелинейных, охватывающих более широкий круг явлений. Теория нелинейных колебаний получила своё развитие относительно недавно – в конце девятнадцатого века, что связано как с развитием математической теории устойчивости и теории нелинейных дифференциальных уравнений, так и с раскрытием новых явлений в физике, имеющих явно нелинейный характер. Последнее, особенно ярко проявилось в радиофизике и, впоследствии, в схемотехнике при изучении вопроса о целесообразных путях генерации колебаний.

Данная работа посвящена изучению физических процессов, описываемых одним из самых известных нелинейных уравнений – уравнением Ван-дер-Поля. Наиболее частое применение это уравнение находит в радиофизике при рассмотрении вопроса о возможности построения автогенератора электромагнитных колебаний. При этом будет рассмотрена, как абстрактная модель нелинейного процесса с теоретической точки зрения, так и её реализация для модели лампового генератора. В последнем случае будет дано лишь краткое описание физических процессов в системе. Вообще, упор в работе делается не столько на физическое, сколько на теоретическое, математическое рассмотрение уравнения Ван-дер-Поля.