Метод Ван-дер-Поля.

Чтобы исследовать уравнения (3), можно воспользоваться следующим приближённым методом, часто называющимся методом Ван-дер-Поля. Суть его состоит в том, что мы рассматриваем другие, составленные особым образом уравнения. При этом мы подбираем эти уравнения таким образом, чтобы они своим решением аппроксимировали решения нелинейных уравнений (3). При этом, метод Ван-дер-Поля обладает тем важным свойством, что он учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты; вспомогательные уравнения также являются нелинейными, но значительно более простыми.

Пусть задана некоторая фазовая плоскость xy; возьмём на этой плоскости вращающуюся (w) по часовой стрелке прямоугольную систему координат ab. Очевидно, при =0, когда система обращается в простейший гармонический осциллятор, фазовые траектории превращаются в круги с центром в начале координат. Формулы преобразования от переменных x,y к переменным a,b будут иметь следующий вид : (5)

x = a cos t + b sin t, y = - a sin t + b cos t ;

В новых переменных уравнения (5) принимают вид : (6)

Или : (7)

Развёртывая правые части в конечные ряды Фурье (считая a и b постоянными), получаем выражения для производных через коэффициенты Фурье. Ограничимся в разложении лишь первым членом, отбросив все остальные : (8)

Также как и система (3), данная система является автономной, то есть не зависящей явным образом от времени, что позволяет использовать её для решения проблем на комплексной плоскости. Однако она значительно проще системы Ван-дер-Поля в её исходном виде, при этом при переходе к полярным координатам переменные разделяются. Обозначим: (9)

В таком случае получаем: (10)

где : (11)

В таком виде наша система (3), преобразованная к полярной системе координат, представляется удобной для исследования. Уравнения вполне можно исследовать независимо друг от друга. Начнём с первого из уравнений (10). Качественная картина уравнений такого типа полностью определяется расположением и характером состояний равновесия на соответствующей фазовой прямой.

Координаты этих состояний равновесия – корни уравнения :

Ф(К) = 0,

Состояния равновесия для i-го К будет устойчивым, если:

и неустойчивым, если:

Остальные движения являются либо асимптотическими к состояниям равновесия как при t+, так и при t-, либо асимптотическими к состоянию равновесия для t+ и уходящими в бесконечность для t-.

Второе из уравнений (10) чаще всего ( в частности и в данном конкретном случае) встречается в модификации вида:

В этом случае второе уравнение интегрируется сразу:

Возвращаясь к обычной декартовой системе координат на фазовой плоскости с помощью формул преобразования координат, получим: (12)

Отсюда получаем, что рассматриваемый предельный цикл будет устойчив в своём орбитальном движении по фазовой плоскости в декартовой системе координат, если соответствующие состояния равновесия будут устойчивы, и наоборот. Остальные траектории, представляющие собой на плоскости a,b отрезки прямых, преобразуются на плоскости x,y в спирали, вообще говоря, накручивающиеся на предельные циклы либо при t+, либо при t-.