Решение дифференциальных уравнений в Mathcad

Mathcad может осуществлять численное решение уравнений полного дифференциала, систем дифференциально-разностных уравнений, и некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad введены следующие функции:

rkadapt(у, х1, х2, асc, п, F, k, s) - возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом. Начальные условия заданы в векторе у, правые части системы записаны в векторе F, n - число шагов, k - максимальное число промежуточных точек решения, s - минимально допустимый интервал между точками;

Rkadapt(y, х1, х2, п, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2, п - число шагов;

rkfixed(y, х1, х2, п, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п.

Функция Rkadapt обычно, благодаря автоматическому изменению шага решения, дает более точный результат. Естественно, по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя и не всегда: если решение меняется медленно, это может привести к заметному уменьшению числа шагов. Таким образом, функция Rkadapt наиболее привлекательна для решения систем дифференциальных уравнений, дающих медленно изменяющиеся решения.

Если решение системы дифференциальных уравнений имеет вид гладких функций, то вместо функции rkfixed, описанной ранее, целесообразно применять новую функцию:

Bulstoer(y, x1, x2, n, F)

Она возвращает матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых (в виде первых производных неизвестных функций) записана в векторе F(x, у) при заданных в векторе у начальных условиях и при решении на интервале от x1 до x2 для n точек решения, не считая начальной точки.

Решение уравнений полного дифференциала производится функцией

Rkfixed (y, x1, x2, n_points, D).

Rkfixed возвращает матрицу, где первый столбец содержит пункты, в которых решение оценено, а второй - соответствующие значения решения и его первых n-1 производных.

Для решения дифференциальных уравнений первого порядка Rkfixed использует метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Обозначения: Y - n-мерный вектор первоначальных значений (от x1).x1, x2 - границы интервала, на котором будет решаться дифференциальные уравнение; n_points - число точек вне начальной точки, в которых решение должно быть аппроксимировано найдено. (Это средство управления числом строк (1 + n_points) в матрице, возвращаемой rkfixed).D - n-мерная векторная функция, содержащая первые производные неизвестных функций.