1.1.Поняття моделі та моделювання

У ринкових умовах господарювання методи дослідження операцій стають важливим інструментом для отримання більш глибоких і повних знань про кількісні та якісні сторони економічного механізму тих чи інших процесів і явищ.

Метод “проб і помилок” у наші дні непридатний, дуже мало часу залишається для “проб” і досить дорогими можуть бути помилки. У ринкових умовах не повинно бути місця свавільним, так званим “вольовим” рішенням. Стратегічні рішення необхідно приймати не інтуїтивно, а на підставі всебічного статистичного аналізу та математичних розрахунків. І не випадково, саме в наш час, відзначається активний ріст використання математичних методів в макро- та мікроекономічних дослідженнях. Замість того, щоб “пробувати і помилятися” на реальних об’єктах, аналітики дають перевагу робити це з допомогою економіко-математичних моделей.

Побудова таких моделей є однією з найважливіших задач прикладної

математики.

Внутрішньою характеристикою раціонального керування господарського комплексу та його складових є оптимальність, тобто вибір із множини всеможливих варіантів економічного розвитку такого, який дає можливість найефективніше використовувати наявні виробничі та фінансові ресурси.

З точки зору оптимального планування та керування, підприємство або структурний підрозділ розглядається як система, в якій комплексно відображається технологічний, економічний та організаційний взаємозв’язок керованого об’єкта, а також його складових.

Оптимальні плани виробничих та господарських структур повинні забезпечувати балансовий взаємозв’язок завдань для випуску продукції з виробничими та фінансовими ресурсами, які є в наявності. Друга задача оптимального планування – ефективне використання виробничих та фінансових ресурсів при дотриманні оптимальних структурних пропорцій.

Концепція оптимального керування народним господарством та його галузями бере свій початок в наукових працях академіків Л.В.Канторовича, В.В. Новожилова, В.С. Немчинова та ін. За висловом Л.В. Канторовича, оптимальний розрахунок – це третя компонента, яка дає можливість отримати додатковий ефект при тих самих ресурсах, але за короткий час. Таким чином, оптимальний – це такий план, який забезпечує виконання даної виробничої програми при мінімальних виробничих витратах або максимальний виробничий

ефект при заданому обсязі ресурсів.

З оптимальним планом безпосередньо пов’язане поняття економіко-математичної моделі, яка представляє собою концентрований вираз існуючих взаємозв’язків і закономірностей процесу функціонування економічної системи в математичній формі.

Даний вираз складається із сукупності пов’язаних між собою математичних залежностей у вигляді формул, рівнянь, нерівностей, логічних умов та факторних величин, всі або частина яких має економічний зміст. За своїм призначенням в економіко-математичних моделях ці фактори доцільно поділити на параметри та характеристики (рис. 1.2.). При цьому параметрами об’єкта називають фактори, які характеризують властивості об’єкта або складових його елементів. У процесі дослідження об’єкта ряд параметрів може змінюватися, тому їх називають змінними, які в свою чергу поділяються на змінні стану та змінні керування. Як правило, змінні стану об’єкта являються функцією змінних керування та дій зовнішнього середовища. Характеристиками (вихідними характеристиками) називаються безпосередні кінцеві результати функціонування об’єкта (зрозуміло, що вхідні характеристики являються змінними станів). Відповідно характеристики зовнішнього середовища описують його властивості, які впливають на процес та результат функціонування об’єкта. Значення ряду факторів, які визначають початковий стан об’єкта або зовнішнього середовища, називаються початковими умовами.

Моделювання – процес побудови моделі, за допомогою якого вивчається функціонування об’єктів різної природи. Він складається з трьох основних елементів: суб’єкта, об’єкта дослідження та моделі, за допомогою якої суб’єкт пізнає об’єкт.

Mодель – це такий матеріально або розумово зображуваний об’єкт, який у процесі дослідження зaмінює об’єкт - оригінал таким чином, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про цей об’єкт.

Загальне схематичне зображення основних етапів цього процесу моделювання показано на рис. 1.3.

Розрізняють фізичне та математичне моделювання. Математичне моделювання – універсальний та ефективний інструмент пізнання внутрішніх закономірностей, властивих явищам і процесам. Воно дає можливість вивчити кількісні взаємозв’язки і взаємозалежності моделюючої системи і вдосконалити її подальший розвиток та функціонування.

Серед існуючих систем економічні системи є найскладнішими, тому при побудові їх моделей слід відображати тільки найважливіші та найхарактерніші властивості процесів або явищ, що вивчаються.

Внаслідок цього всі моделі є спрощеним відображенням реальної системи, але якщо цей процес виконано коректно, то отримане наближене відображення реальної ситуації дає можливість мати достатньо точні характеристики об’єкта дослідження.

Для того, щоби моделювання стало діючим інструментом пізнання, необхідно правильно побудувати математичну модель, адекватну процесу, що вивчається. Отже, математична модель являє собою систему математичних формул, нерівностей або рівнянь, які більш або менш адекватно описують явища та процеси, що властиві оригіналу.

Економіко-математичні моделі самі по собі не створюють нових і не змінюють існуючих принципів та методологічних основ економічної теорії, а тільки, спираючись на них, змінюють способи їх використання для всебічного кількісного та якісного аналізу закономірностей і взаємозв’язків економічних процесів.

При побудові економіко-математичної моделі слід вміло володіти наступними поняттями: критерій оптимальності, цільова функція, система обмежень, рівняння зв’язку, розв’язок моделі.

Критерієм оптимальності називається деякий показник, який має економічний зміст та служить способом формалізації конкретної мети керування і виражається зa допомогою цільової функції через фактори моделі. Критерій оптимальності визначає розуміння змісту цільової функції. У деяких випадках в якості критерію оптимальності може виступати одна із вихідних характеристик об’єкта моделювання.

Цільова функція математично зв’язує між собою фактори моделі, і її значення визначається значеннями цих величин. Змістовне тлумачення цільовій функції надає тільки критерій оптимальності.

Не слід змішувати критерій оптимальності та цільову функцію. Так, наприклад, критерій прибутку та критерій загальної вартості випущених інвестиційною компанією акцій можуть описуватися однією і тією ж цільовою функцією:

де i - індекс виду акцій i = 1,n ; X i - обсяг випуску акцій i-го виду; Ci - прибуток від випуску одиниці акцій i-го виду або вартість одиниці акцій i-го виду в залежності від змісту критерію оптимальності.

Критерій прибутку може бути розрахований за допомогою нелінійної цільової функції:

якщо прибуток від випуску одиниці акцій i-го виду (Ci) є функцією від обсягу випуску Xi.

При наявності декількох критеріїв оптимальності кожний з них буде формалізований своєю частковою цільовою функцією Zk, де k- індекс критерію оптимальності k =1, K . Для компромісного вибору оптимального розв’язку можна сформулювати нову цільову функцію:

Проте дана цільова функція може вже не мати економічного змісту, в такому випадку критерій оптимальності для неї відсутній.

Система обмежень визначає границі, існування області дійсних та допустимих розв’язків і характеризує основні зовнішні та внутрішні властивості об’єкта. Обмеження визначають область відбуття процесу, границі зміни параметрів та характеристик об’єкта.

Рівняння зв’язку являються математичною формалізацією системи обмежень. Між поняттями “система обмежень” та “рівняння зв’язку” існує точно така сама аналогія, як між поняттями “критерій оптимальності” та “цільова функція”: різні за змістом обмеження можуть описуватися однаковими рівняннями зв’язку, а одне і те ж саме обмеження в різних моделях може записуватись різними рівняннями зв’язку.

Таким чином, саме критерій оптимальності та система обмежень в першу чергу визначають концепцію функціонування майбутньої математичної моделі, її концептуальну модель, а їх формалізація, тобто побудова цільової функції та рівнянь зв’язку, представляють собою математичну модель.

Розв’язком математичної моделі називається такий набір (сукупність) значень змінних, які задовольняють її рівняння зв’язку.

Розв’язки, які мають економічний зміст, називаються структурно допустимими. Моделі, які мають багато розв’язків, називаються варіантними на відміну від без варіантних, які мають один розв’язок. Серед структурно допустимих варіантних розв’язків моделі, як правило, знаходиться один розв’язок, при якому цільова функція в залежності від змісту моделі має найбільше або найменше значення. Такий розв’язок, як і відповідне значення цільової функції, називається оптимальним.