17. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.

Базисом линейного пространства L называется любая система векторов данного пространства, удовлетворяющая условиям: 1) векторы этой системы линейно независимы; 2) каждый вектор пространства L линейно выражается через векторы данной системы. Размерностью линейного пространства L называется число векторов его базиса. Обозначение:

Пусть – базис пространства L ( ). Тогда любой вектор может быть записан в виде: Это выражение называется разложением вектора по базису , т. е. числа называются координатами вектора в базисе . Обозначение:

18. Скалярное произведение векторов в

Скалярное произведение векторов и в n-мерном арифметическом векторном пространстве обозначается и вычисляется по формуле: .

Свойства: 1) 2) . 3) ( . 4) если , если .

19. Евклидово пространство.

Евклидовым пространством называется векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам: 1) 2) . 3) ( . 4) если , если . Произвольное евклидово пространство часто обозначают буквой или , индекс n указывает размерность пространства.

20. Неравенство Коши-Буняковского.

Для любых двух векторов x, y евклидова пространства Е справедливо неравенство Коши-Буняковского: или . При этом первое неравенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы x, y линейно зависимы.

21. Длины векторов и угол между векторами в .

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора: . В частности, в пространстве длина вектора определяется по формуле: .

Углом между ненулевыми векторами x и y евклидова пространства называется угол , удовлетворяющий условиям: и . В частности, в пространстве угол между векторами и может быть найден по формуле: .