Моделирование явления спонтанного излучения многоатомной системы (сверхизлучения Дике)

1. Постановка задачи и алгоритм моделирования. Рассмотрим систему N – двухуровневых атомов, заключенных в малом объеме (L<) или протяженном объеме, имеющем выделенное направление излучения. Предположим, что все атомы в начальный момент возбуждены. Для каждого атома существует вектор дипольного момента перехода . Его величина связана с вероятностью перехода электрона с одного уровня на другой уровень следующим образом

.

Существует два типа высвечивания многоатомной системы. При первом типе высвечивания атомы не сфазированы друг с другом, здесь каждый атом излучает независимо. Направление излучения фотона при таком распаде атомов случайное. Такое излучение называется спонтанным. Другой тип излучения, при котором атомы связаны между собой, дипольные моменты их коррелированны (сфазированы), иначе говоря, дипольные моменты атомов когерентны в процессе излучения. Корреляция происходит в процессе высвечивания в собственном поле излучения атомов. Атомы чувствуют друг друга через общее поле излучения и начинают излучать одновременно в коррелированном направлении. Такой тип излучения называется сверхизлучением. Впервые второй тип излучения был предсказан в работе [1] и называется сверхизлучением Дике. Вероятность излучательного перехода в единицу времени многоатомной системы для второго типа излучения представляется в виде

, (3.33)

где М – полуразность заселенности уровней, - вероятность спонтанного излучения отдельного атома.

1. Если , то - спонтанное излучение

2. Если , то - сверхизлучение Дике

Развитие излучения многоатомной системы может быть описано системой балансных уравнений

, (3.34а)

, (3.34б)

где - вероятность заселенности уровня М.

Определим число возбужденных атомов.

Для - число возбужденных атомов .

Для , - число возбужденных атомов .

С учетом условия нормировки и получим, что число возбужденных атомов в момент времени t равно

Получим реализацию импульса сверхизлучения, используя метод статистических испытаний (Монте-Карло). Вероятность излучения j – го фотона за некоторое время полагаем равной малой фиксированной величине, так что

. (3.35)

Пусть в начальный момент заселен верхний уровень . Определим время, через которое испустится 1 –ый фотон. Рассмотрим интервал

0  1

Перехода нет

Рис. 3.17

Для интервала [0,1] вероятность перехода . Определим вероятность перехода в интервале [0, ], в частности для . Для этого проводим розыгрыш случайного числа . Если случайное число  <  , считаем что произошел переход.

Предположим, что i₁ – номер случайного числа, то формула

,

определяет время, за которое произошло испускание первого фотона.

Время излучения второго фотона можно определить как

, ,

где i₂ - номер второго случайного числа ( i₂> i₁ ).

Тогда время, через которое испустится n – ый фотон после испускания (n-1) –го фотона, равно

где i_j - номера чисел, меньших в последовательности случайных чисел из интервала [0, 1]. Случайные цифры можно генерировать с помощью ЭВМ или пользоваться таблицей случайных чисел.

Зная времена испускания фотонов, можно получить функцию распределения, усредненный график которого должен иметь вид (рис.3.18).

Если , то можно получить аналитическое выражение для интенсивности сверхизлучения Дике. Действительно, время, за которое будет испущено n фотонов, равно

В

, (3.37)

. (3.38)

Следовательно, средняя интенсивность излучения в единицу времени может быть представлена в виде

. (3.39)

Таким образом, в отличие от спонтанного излучения, где интенсивность излучения определяется как , интенсивность сверхизлучения пропорциональна квадрату числа атомов – N ².