4.2. Метод броуновской динамики

Методами Монте-Карло иногда принято называть группу методов реше­ния детерминированных (т.е. без случайности) задач, в которых су­щественно используются элементы случайности. Кроме того, существует множество задач, в которых случайный элемент присут­ствует естественным образом. Универсальность метода как метода математического моделирования прикладных задач определяется возможностью его использования в решении задач, не свя­занных со случайностью. Это достигается построением вспомога­тельных вероятностных моделей, куда в качестве параметров входят подлежащие определению постоянные величины.

1. Математическая модель. В методе броуновской динамики систему можно представить в виде набора частиц, динамически взаимодействующих между собой и стохастически с окружающей средой, детальное строение которой несущественно, т.е. движение частиц в растворе или расплаве сводится к движению частиц в непрерывной вязкой среде. Свойства этой непрерывной среды задаются случайной силой с заданными статистическими свойствами. Метод броуновской динамики рассчитывает в фазовом пространстве траектории молекул, движение каждой из которых в поле силы описывается уравнением Ланжевена

, (4.20а)

, , (4.20б)

где - набор межчастичных расстояний, - коэффициент трения броуновских частиц в поле окружающей среды, - случайная сила ланжевеновского источника, - сила взаимодействия - й частицы с остальными броуновскими частицами

. (4.21)

Метод броуновской динамики использует случайные силы . Поэтому для его реализации необходимо уметь получать случайные величины , обычно распределенные по нормальному закону с дисперсией d = 1

, . (4.22)

Для нашей задачи случайная сила равна

Если дисперсия d задана, то плотность вероятности определяется как

, (4.23)

где x = d*. Если допустим, что дисперсия d не неизвестна, то оно может быть определено как среднее значение < >= d.