Кривые второго порядка

   Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0,

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

 - эллипс,

 - гипербола,

px  - парабола.

   Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек  и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c: .

Эллипс, заданный каноническим уравнением: 

симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , ,  называются его вершинами.

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии  от центра эллипса О.

Число  ()

называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при  эллипс является окружностью, а при  он вырождается в отрезок длиною ).

Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY   и , .

   Гипербола –  геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек   и  , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:  .

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках  и  - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число , ()

называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые  называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением :

 ( или ),

называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на осиOY. Она пересекает ось ОY в точках  и  - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: , ().

   Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой

фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

Уравнение  задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

Парабола  имеет фокус  и директрису .

Парабола   имеет фокус  и директрису .

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.