Векторная величина

Векторная величина (вектор) – это физическая

величина, которая имеет две характеристики – модуль и направление в пространстве.

Примеры векторных величин: скорость (), сила (), ускорение () и т.д.

Геометрически вектор изображается как направленный отрезок прямой линии, длина которого в масштабе – модуль вектора.

Векторная величина обозначается символом соответствующей физической величины со стрелкой над ней: , , . Модуль вектора обозначается символом без стрелки: || или v.

Действия над векторами подчиняются векторной алгебре. Рассмотрим элементы этой алгебры на примере действий над векторами.

Сравнение векторов

Рассмотрим два вектора и (рис. 44).

Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:

– равные модули,

– одинаковые направления.

Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:

– равные модули,

– противоположные направления.

Когда не выполняется одно из условий или оба условия, векторы не равны друг другу.

            Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

            Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

            Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

            В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

-         C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

-         А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

-         В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

-         В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

-         А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

            Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

                                                                                                (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.

Теорема доказана.

            Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7;  y = 2x + 1.

K₁ = -3;   k₂ = 2          tg = ;    = /4.

            Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

            Находим: k₁ = 3/5,    k₂ = -5/3,  k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

            Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

            Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; 

            Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

            Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

п.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется уголповорота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

                                              рис.1.

Из определения следует, что угол наклона  прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .

   Пусть

                                                                     (1)

– общее уравнение прямой L, где  – нормальный вектор прямой L и . Тогда  и  (см. рис.1). Выразим у изуравнения (1)

                                    .

                                  , .

Уравнение прямой L принимает вид:

                                            .

Определение. Уравнение прямой вида

                                                                             (2)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

                                               .                                (3)

   Доказательство. 1) Если прямая , то  и . С другой стороны, ее нормальный вектор  и .

   Тогда  и, следовательно, , ч.т.д.

2) Пусть , тогда ,  и . Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс. Тогда

                                    , .

Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F , а в точке оси Ох с координатой  проведем касательную m к этой окружности. См. рис.2.

                                                рис.2.

Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы . Тогда ось m является осью тангенсов для данной единичной (тригонометрической) окружности.

   Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, , где  – угол наклона прямой L к оси Ох, а, с другой стороны, точка  и , откуда и следует равенство , ч.т.д.

Теорема доказана.

   Заметим, что приведенное доказательство принадлежит автору этих лекций. Достоинством этого доказательства является то, что оно не зависит ни от величины угла наклона , ни от величины коэффициента .

   В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).