Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если  - полярный угол нормали, р - длина отрезка  (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением  точки  от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, =0). Если даны координаты ,  точки  и нормальное уравнение прямой , то отклонение  точки от этой прямой может быть вычислено по формуле

.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки  от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки . Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: .

Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель , определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

 Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.  Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П₁), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.

 Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямой а общего положения.

 Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.