Непрерывно - детерминированные модели ( d-схемы)

Дифференциальные модели являются математической основой методов системной динамики [2]. Модели системной динамики получили широкое распростра­нение в задачах исследования сложных систем из сферы произ­водства и экономики, торговли и городского хозяйства, из области социальных проблем, проблем экологии и охраны окружающей среды

Математической основой методов системной динамики являются дифференциальные модели, в которых используются представле­ния динамических процессов в пространстве состояний. Модели такого вида – это системы дифференциальных уравнений:

, (1)

где z = (z₁, ..., z_m)^T — вектор состояний;

z₁, ..., z_m — перемен­ные состояния;

x = (x₁, ..., x_p)^T — вектор входов;

t — символ вре­мени (в дальнейшем для краткости t опускается).

Дифференциальные модели, применяемые в математической теории систем, включают кроме уравнений (1), называемых уравнениями состояния, еще и уравнение

y = Н (z,x), (2)

в котором переменная у = (y₁, .... y_q)^T —вектор выходов моде­лируемых процессов.

При составлении дифференциальных моделей производится вы­бор переменных состояния и устанавливаются связи между этими переменными в виде функций правых частей уравнений состояния. Процессы отбора, анализа и формализации различных фактов и предположений экспертов об изучаемой проблеме в значительной степени обусловлены структурой, которой наделяются искомые функциональные зависимости. Как правило, сформулировать та­кие зависимости только с использованием переменных состояния бывает очень трудно. Более продуктивным оказывается подход, основанный на детальном описании цепочек причинно-следственных связей между факто­рами, отображаемыми в модели с помощью переменных состояния. Разработка и формальная запись таких цепочек невозможны без включения в модель некоторых допол­нительных переменных, специально предназначенных для явного определения в модели структуры причинно-следственных взаимо­связей между переменными состояния. Желательно, чтобы необ­ходимое расширение набора переменных состояния дифферен­циальных моделей совокупностью дополнительных переменных осуществлялось стандартным «технологичным» способом, обеспе­чивающим эффективное выполнение процессов структуризации информации о проблеме.

Рассмотрим непрерывно - детерминированную схему, позволяющую построить математическое описание непрерывного производственного процесса [7].

Предположим, что рассматриваемый непрерывный производ­ственный процесс реализуется на некоторой установке (оборудо­вании), характеризующейся параметрами γ_k, k=1, 2, ..., k* (например, емкость или весовая вместимость резервуаров, сече­ния входных, промежуточных и выходных отверстий, объемы промежуточных бункеров, силовые и энергетические характери­стики приводов).

К установке поступают m компонент сырья с интенсивно­стями прихода μ_i, i = 1, 2, ..., m (единицы веса или объема в единицу времени), и параметрами α_i1, α_i2, ..., α_iri. Установ­ка выдает n компонент готовой продукции с интенсивностями выхода υ_j, j = 1, 2, ..., n и параметрами β_j1, β_j2, ..., β_jlj.

Процесс, происходящий в установке, характеризуется пара­метрами (реагирования) δ_s, s = 1, 2, .... s*.

При этих обозначениях математическим описанием процесса могут служить соотношения

(3)

описывающие зависимость каждого из параметров υ_j, β_j, компо­нент готовой продукции от параметров сырья, установки и про­цесса.

Все величины, фигурирующие в (3), могут быть функциями времени, а сами соотношения — явно за­висеть от времени t.

В некоторых случаях соотношения (3) могут быть допол­нены рядом соотношений весового или объемного баланса, на­пример сумма количеств поступающих компонент сырья равна сумме выдаваемых количеств компонент продукции; сумма ко­личеств поступающих компонент сырья равна сумме емкостей резервуаров или бункеров. Однако соотношения количественного баланса не всегда нужны, поскольку в процессе мо­гут фигурировать неучитываемые отходы.

Рассмотренная схема приспособлена для учета техно­логических факторов при описании непрерывного производствен­ного процесса, но в явном виде не учитывает факторов управ­ления производством. Чтобы ослабить значение этого обстоя­тельства, к соотношениям (3) добавляются операторы или алгоритмы переработки информации, свойственные процессу управления производством. Эти соотношения мы будем рассмат­ривать отдельно от модели технологической части процесса и выносить в особую формализованную схему. При этом возни­кает проблема взаимодействия обеих формализованных схем. Для ее разрешения в первую очередь необходимо согласовать выходы схемы управления со входами технологической схемы, Это достигается выделением специальных параметров управле­ния из числа параметров, фигурирующих в математическом описании технологической части модели. В самом деле, управ­ление непрерывным производственным процессом сводится к регулированию количества и свойств сырья, поступающего к ус­тановке (параметры μ_i и), регулированию условий протека­ния процесса (параметры δ_s), а иногда—изменению парамет­ров γ_k установки или регулированию количества и свойств готовой продукции (параметры отбора компонент продукции υ_j и .

Выделенные таким образом параметры управления можно разбить на группы, соответствующие оперативному управлению установкой, оперативному управлению группой установок или предприятием в целом, текущему и перспективному планирова­нию.

Рассматриваемая схема непрерывного производственного про­цесса может быть использована для математического описания и последующего моделирования широкого круга реальных про­цессов. В связи с этим целесообразно обратить внимание на следующие два обстоятельства. Во-первых, на практике не всег­да удается построить математическое описание непрерывного производственного процесса в виде явных функций параметров μ_i, α_i, υ_j, как это показано в соотношении (3). Иногда соотношения могут иметь неявный вид

F(μ_i , α_i, υ_j, β_j, γ_k, δ_s) = 0 (4)

Тогда возникает необходимость приведения их к виду (3) или нахождения численных методов определения искомых параметров из соотношения (4) (например, методом последовательных приближений).