Непрерывно - стохастические модели (q-схемы).

Рассмотрим непрерывно - стохастические модели на примере систем массового обслуживания. Систему массового обслуживания можно представить в виде некоторые прибора П_i , состоящего из канала обслуживания К_i и накопителя Н_i. В накопитель поступают заявки, а на канал поступает поток обслуживания W_i и U_i. Y_i - выходной сигнал.

Потоком события называется некоторая последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Различают однородные и неоднородные потоки событий.

Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления событий, т.е. некоторой последовательностью

{t_n} = {0  t₁  t₂ ... t_n},

{_n} = {₁,... _n} _n=t_n-t_n-1.

Поток события называется неоднородным, если он характеризуется последовательностью {t_n,f_n}, где t_n – вызывающие моменты, f_n – признаки.

Если интервалы между событиями ₁, ₂,... независимы между собой, то такой поток называется потоком с ограниченным последействием.

Поток событий называется ординарным, если на интервале времени t, прилежащим к моменту времени t вероятность появления более одного события Р_>1(t, t) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события:

Р₁(t, t) >>P_>1(t, t).

Стационарным потоком называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени t зависит лишь от длины этого интервала и не зависит от места на оси 0-t, на котором расположен этот интервал.

Рассмотрим на оси 0-t некоторый интервал времени t, если существует предел , то этот предел называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока. Для стационарного потока интенсивность не зависит от времени и есть величина постоянная(t)==сonst.

Считается, что поток заявок, т. е. интервалы времени между моментами поступления заявок образуют подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания, т. е. интервалы между началом и окончанием обслуживания заявки образуют поток управляемых переменных. Заявки, обслуженные каналом и покинувшие прибор по каким-либо причинам образуют поток выходных переменных y_jY. Состояние системы в любой момент времени t описывается состоянием z_i(t)Z. Функционирование прибора P_i можно представить как смену его внутренних состояний. Переход в новое состояние для прибора P_i означает изменение количества заявок в накопителе и наличие заявки в канале обслуживания. Т. о. вектор состояния представляет собой zⁱ=(z^н_i, z^k_i). Состояние накопителя z^н_i=0 - нет заявок, z^н_i=1 - заявка в накопителе, z^н_i=L^н_i , где L^н_i - ёмкость накопителя. Состояние канала z^к_i=0 z^кi=1.

При моделировании больших сложных систем используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы образованные многими элементарными приборами обслуживания. Если каналы к_i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то такая Q-схема называется многоканальной, а если приборы и их параллельные композиции соединены последовательно, то такая Q-схема называется многофазной. Для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, указывающий какие каналы и каким образом соединены друг с другом. В зависимости от наличия ОС различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. Собственными внутренними параметрами Q-схемы будут являться: количество фаз, количество каналов в каждой фазе, количество накопителей в каждой фазе, емкость i-го накопителя.

Если емкость L^н_i = 0 – то система с потерями, если L^н_i   - то система с ожиданием, если 0< L^н_i< - система смешанного типа. Всю совокупность внутренних параметров обозначим через Н. Для задания Q-схемы необходимо определить алгоритм функционирования системы. Заявки, приходящие в систему, являются неоднородными и процесс их обслуживания определяется с помощью введения приоритетов. Приоритеты, назначаемые заранее и независящие от состояния Q-схемы называются статическими. Приоритеты возникающие при моделировании исходя из конкретной ситуации называются динамическими. Приоритеты называются относительными, если заявка поступившая в накопитель и имеющая более высокий приоритет, чем все остальные заявки, ожидает окончание выполнения заявки находящейся в канале. Приоритет называется абсолютным, если заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание канала заявки с более низким приоритетом, а сама занимает канал. В этом случае вытесненная заявка либо покидает систему, либо вновь встает в очередь. При задании алгоритма функционирования также необходимо задать правило, по которому заявки покидают накопитель или канал. А также необходимо задать правило, по которому заявки остаются в канале или не допускаются до обслуживания, т. е. правило блокировок. Весь набор алгоритмов обозначен буквой А. Q-схема описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания может быть представлена набором множеств. Q=W, U, H, Z, A.