Разностные схемы для линейного одномерного уравнения переноса

Для численного решения введем на плоскости (x,t) равномерную пространственно-временную сетку , где

Через обозначим число Куранта, через- шаги сетки поx и t. Здесь и далее будем использовать стандартные обозначения для сеточных величин: , где верхний индекс - номер временного слоя, нижний индекс – номер узла пох. Решение на слое j считаем известным.

Рассмотрим на данной сетке наиболее известные разностные схемы или их производные, аппроксимирующие уравнение переноса (1). Ниже дано их краткое описание вместе с первым дифференциальным приближением – дифференциальным уравнением, более полно отражающим свойства разностного решения, чем исходное уравнение переноса. Приведены также условия устойчивости и порядок аппроксимации.

1. Явная схема с левой разностью:

(10)

Схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и по пространству. Она устойчива, если выполнено условие . Приприменение схемы дает точное решение. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

2. Схема Лакса – Вендроффа:

(11)

где

Схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу со вторым порядком по времени и пространству. Она устойчива при . Присхема дает точное решение. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

.

3. Схема с центральной разностью:

(12)

Схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и второй порядок по пространству, является безусловно неустойчивой как полусумма условно устойчивой схемы с левой разностью и безусловно неустойчивой схемы с правой разностью. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

.

4. Схема Лакса:

(13)

При выполнении условия устойчивости и стремлениик нулю быстрее, чем, схема сходится. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

.