Закон Больших Чисел

Это общий принцип, в силу которого суммарное действие большого количества случайных факторов при весьма общих условиях приводит к результату почти не зависящему от случая.

Первый результат в этом направлении получен Я.Бернулли (1713), его обобщение сделано П.Л.Чебышёвым (1867) и носит название теоремы Чебышева.

Пусть - последовательность независимых случайных величин и , тогда . Иначе говоря, если - арифметическая средняя, то , т.е. .

Теорему Чебышева можно сформулировать следующим образом:

Если Х₁, Х₂,…..Х_n – независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, дисперсии этих величин меньше некоторой константы и число случайных величин достаточно велико, то среднее арифметическое этих случайных величин примет значение, близкое к а.

Более строго, формулировка следующая

Какое бы ни было число  > 0 , имеет место

. (1.24)

Обычно число  выбирают достаточно малым, в этом случае Х_ср= а+.

Теорема Бернулли

Пусть мы имеем n независимых испытаний по реализации случайного события A, и в результате испытаний, событий A реализовалась всего n_A раз, тогда арифметическое среднее есть просто относительная частота события , т.е. и .

По Закону Больших Чисел имеем, что , т.е. относительная частота случайного события сближается с его вероятностью при возрастании числа наблюдений. Это следствие теоремы Чебышева и она носит название теоремы Бернулли.

Таким образом, теорему Бернулли можно сформулировать так:

Если проводится достаточно большое количество n независимых испытаний по определению события А, и вероятность р появления события А постоянна, то относительная частота появления события А окажется близкой к вероятности этого события.

Если более строго, то имеет место следующий предел

. (1.25)