Аффинные преобразования на плоскости.

Афинные преобразования координат x,y описываются по формуле:

X=Ax+By+C

Y=Dx+Ey+F

где A,B,C…F—const .

Х,У—координаты в новой системе координат.

Обратное преобразование из Х,У в х,у также является афинными. Аффинное преобразование удобно записывать в матричном виде.

A,B,C…F—const образуют матрицу преобразований, которые будучи умноженными на столбец коэффициентов (х,у) дает матрицу столбец Х,У.

Однако, чтобы учесть const C и F необходимо перейти к так называемым однородным коэффициентам. Добавим в строку с единицами матрицу координат

Матричная запись дает возможность наглядно записывать несколько преобразований, которые идут друг за другом. Например, если необходимо выполнить одно преобразование:

а затем другое преобразование:

то эти преобразования можно записать следующим образом:

Вместо двух преобразований выполнить только одно, предварительно перемножив матрицы коэффициентов.

Рассмотрим частный случай аффинного преобразования:

1. параллельный сдвиг координат:

Значения новых координат рассчитываются следующим образом.

В матричной форме расчет координат записывается следующим образом:

Обратное преобразование:

Обратное преобразование в матричном виде:

2. растяжение, сжатие осей координат

Обратное преобразование:

В матричном виде:

Коэффициенты k_x, k_y могут быть и отрицательными. Например, если k_x=-1, то это соответствует зеркальному отражению относительно оси У.

3. поворот

Обратное преобразование соответствует повороту Х,У на угол –α: