Градієнтом скалярної функції і(u1, u2, …, um) називається вектор з координатами тобто

(11.3)

де k₁, k₂, …, k_m – одиничні вектори, напрямки яких збігаються з напрямками осей u₁, u₂, …, u_m.

Цей вектор спрямований у бік найбільшого зростання функції І. У точці екстремуму grad I = 0.

Метод градієнта реалізується на основі дискретного або безперервного принципу роботи контуру адаптації.

При безперервному принципі роботи метод градієнта полягає у тому, що швидкості змінювання параметрів u_i беруть пропорційними відповідним компонентам миттєвого значення градієнта, тобто

(11.4)

де с_і – коефіцієнт пропорційності; с_і > 0 для випадку екстремуму-мінімуму; с_і<0 для екстремуму-максимуму.

При кроковому пошуку після вимірювання поточного градієнта виконується крок, складові якого за осями координат пропорційні відповідним компонентам градієнта у початковій точці пошуку:

(11.5)

Далі знову визначається градієнт, виконується наступний крок у напрямку вектора градієнта і т.д.

Залежності (11.4) і (11.5) використовують для формування робочих сигналів екстремальної системи, що забезпечують рух до екстремуму вихідної величини І.

Перевагою методу градієнта є плавний характер руху до точки екстремуму і у разі крокового пошуку відносно малий розмах коливань. До недоліків належить необхідність визначення градієнта в кожній точці фазової траєкторії, що збільшує час пошуку.

Метод найшвидшого спуску

За цим методом напрямок градієнта визначається у початковій точці, а потім здійснюється рух у цьому напрямку доти, доки похідна вздовж цього напрямку dI/dt не дорівнюватиме нулю. Потім знову визначається напрямок градієнта і здійснюється рух за новим напрямком до наступного нульового значення похідної і т.д.

Метод найшвидшого спуску характеризується відносно малим часом досягнення екстремуму при великих кроках на початковому етапі пошуків.

Приклад 11.1 Задано показник екстремуму:

(11.6)

Визначити мінімум функції I(u₁, u₂) методом найшвидшого спуску з початкової точки u₁₀ = 4; u₂₀ = 6.

Функції I(u₁, u₂) відповідає сім’я еліпсів для різних I = const (рис. 11.10). Початковий стан визначається точкою М₁.

Знайдемо напрямок градієнта у початковій точці. Частинні похідні для цієї точки:

(11.7)

Через те, що відшукуємо мінімум функції І, будемо рухатись у напрямку, зворотному до градієнта, і визначимо координати u₁₁, u₂₁ наступної точки:

(11.8)

д е L – поки ще невідомий крок переходу з точки (u₁₀, u₂₀) до точки (u₁₁, u₂₁).

Для визначення кроку L підставимо знайдені значення u₁₁, u₂₁ у вираз (11.6):

Прирівняємо до нуля похідну і отримаємо:

звідки L = 0,334.

Підставимо це значення у вираз (11.8) і визначимо координати u₁₁ і u₂₁:

u₁₁ = -0,68; u₂₁ = 0,65 (точка М₁₂ на рис. 11.10).

Виконавши аналогічні обчислення для наступного кроку за умови, що вихідним станом системи є стан, у який вона прийшла у кінці першого кроку, дістанемо: u₁₂ = 0,0229; u₂₂ = 0,0362. Отже, практично за два кроки система опиняється у точці, досить близькій до точки мінімуму.