48. Порядок обработки экспериментальных данных в виде выборки одномерных случайных величин для определения предполагаемого закона распределения.

Порядок обработки одномерных случайных величин следующий:

- построение вариационного ряда выборки одномерной случайной величины (упорядочение выборки объемом n от X_min к X_max);

- определение ориентировочного значения с округлением в меньшую сторону количества интервалов группирования r по формуле:

;

- вычисление ширины интервалов группирования X:

;

- построение таблицы 1.1 подсчета частот, частостей и формирование внешнего вида эмпирического распределения в интервалах группирования 1,2,...,j,...,r.

- руководствуясь данными таблицы 1.1 выполняется построение графических характеристик эмпирического распределения (гистограммирование):

1. Гистограмма относительных частот (эмпирическая вероятность)

2. Полигон относительных частот (кривая, описывающая гистограмму)

3. Эмпирическая функция (график ступенчатой накопленной частости)

4. Кумулятивная кривая, кумулята (линия, описывающая функцию распределения и проходящая через середины интервалов группирования)

5. Диаграмма Парето (гистограмма, ранжированная в порядке убывания частостей совместно с кумулятой)

2. По внешнему виду гистограммы эмпирической вероятности, используя графики теоретических плотностей распределения вероятностей, определяется, какому теоретическому закону соответствует указанная гистограмма.

3. Используя метод моментов, определить значения параметров предполагаемого распределения, для чего необходимо:

3.1. В качестве начального момента первого порядка и центрального момента второго порядка принимаются, соответственно, математическое ожидание и дисперсия одномерной случайной величины

3.2. Составить систему уравнений, связывающую неизвестные параметры с моментами.Количество уравнений должно соответствовать количеству параметров.

3.4. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестных параметров.

4. Для середины каждого интервала группирования вычислить теоретическую плотность распределения вероятности f(xj)6. Для каждого интервала группирования вычислить теоретическую вероятность р_j:

p_j = Δx·f(x_j)

5. Рассчитывается значение критерия Пирсона χ²_расч.

6. Вычислить число степеней свободы k и задавшись величиной уровня значимости α, определить табличное значение критерия Пирсона χ²_табл

7. Сделать вывод о принадлежности обрабатываемой случайной величины предполагаемому теоретическому распределению.

8. Повторить последовательность пп.2 – 10 еще для 1 – 2 теоретических распределений. На основании полученных расчетных значений критерия Пирсона сделать окончательный вывод.

49. Поясните суть метода моментов, применяемого для определения значения параметров предполагаемого закона распределения.

Среди существующих методов параметрической оценки законов распределения наиболее простым и распространенным является метод моментов, который заключается в том, что начальные и центральные моменты теоретического распределения, зависящие от неизвестных параметров этого распределения, приравниваются к статистическим моментам. При этом статистические начальные и центральные моменты соответственно 1-го и 2-го порядков определяются по формулам:

; .

Формулы взаимосвязи аналитических моментов с неизвестными параметрами теоретических распределений приведены в справочных материалах. В итоге решается система уравнений, связывающая параметры с моментами, откуда определяются оценки соответствующих параметров.

У данного метода есть свои преимущества и недостатки:

В известной мере, при оценке параметров из известного семейства вероятностных распределений, этот метод упраздняется Фишеровским методом максимального правдоподобия, так как максимально правдоподобная оценка имеет большую вероятность оказаться ближе к истинному значению оцениваемой величины.

Тем не менее, в некоторых случаях, например в случае Гамма-распределения, использование метода максимального правдоподобия требует использования компьютеров в то время, как метод моментов может быть быстро и легко реализован вручную.

Оценки, полученные методом моментов, могут быть использованы как первое приближение для метода максимума правдоподобия. Дальнейшее улучшение оценок может быть получено с использованием другого метода.

В некоторых случаях, редких при больших объемах данных и более частых при малом их количестве, оценки, даваемые методом моментов могут оказаться вне допустимой области. Такая проблема никогда не возникает в методе максимального правдоподобия. Также, оценки по методу моментов не обязательно оказываются достаточной статистикой, то есть, они иногда извлекают из данных не всю имеющуюся в них информацию.

50. Поясните суть проверки соответствия между распределением случайной величины, полученной по результатам наблюдений с предполагаемым теоретическим распределением этой величины с помощью критерия Пирсона.