Критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона (χ²) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Использование критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Число интервалов зависит от объема выборки. Обычно принимают: при n = 100 e = 10 ÷ 15, при n = 200 e = 15 ÷ 20, при n = 400 e = 25 ÷ 30, при n = 1000 e = 35 ÷ 40.

Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой n_j ≥ 2.

Статистикой критерия Пирсона служит величина

(1),  

где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x). При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (1) величины с критическим значением χ²_α, найденным по табл. в справочном материале  для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e₁ - m - 1. Здесь e₁ - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство χ² ≤χ²_α  (2) то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).

51 Опишите методику исследования СМО с целью определения показателей функционирования СМО (критерии эффективности работы СМО).

Для исследования СМО используется теория графов для составления и решения уравнений Колмогорова, описывающих вероятности пребывания системы в различных состояниях. При этом делают допущение о пуассоновском распределении потока входящих требований, т.е.

,

где a= t - параметр дискретного распределения Пуассона;

 - интенсивность потока входящих требований;

t - интервал времени вычисления вероятности P(x);

x - переменная, принимающая значения x=0,1,2,...,n;

а - время обслуживания одной заявки подчиняется показательному закону распределения, т.е.

,

где  = 1/Т_обсл - интенсивность обслуживания одной заявки;

Т_обсл - среднее время обслуживания одной заявки.

Граф-схема обобщенной СМО (многоканальной с ожиданием в очереди) приведена на рисунке:

Рис. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием в очереди:

x₀,x₁ ,...,x_n,... - состояния СМО;

P₀,P₁,...,P_n,... - вероятности нахождения в состояниях X;

k - число занятых каналов обслуживания;

S - число занятых мест в очереди;

/ =  - нормированная интенсивность входного потока.

Вероятности состояний многоканальной системы с отказами, ожиданием в очереди приведены в справочных материалах.

Кроме определения вероятностных показателей состояний СМО решается задача управления - определения численных характеристик функционирования отдельного канала, числа каналов при известных характеристиках входного потока требований с эффективным обслуживанием этого потока.