Умножение комплексных чисел

        Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению  модулей сомножителей, а аргумент –  сумме аргументов сомножителей.

        Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

        Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a₁ + b₁i) (a₂ + b₂i ) = x + iy.

Имеем .

Согласно определению умножения можем записать:

.

Распишем:      ,

,

.

Окончательно получим:

.

        Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

        Если  z  = а + b i  –  комплексное число, то число  называется сопряжённым с числом z . Его обозначают при помощи черты над числом.

, но , следовательно, .