28. Линейные преобразования пространства . Линейные операторы.

Пусть даны два линейных пространства L ( ) и L’ ( ). Если задан закон (правило) φ, по которому каждому вектору x пространства L ставится в соответствие единственный вектор y пространства L’, то говорят, что задан оператор φ, действующий из L в L’, и записывают или . Вектор называется образом вектора x при действии оператора φ, а сам вектор x – прообразом вектора y. Если пространства L и L’ совпадают, то оператор φ отображает пространство L в себя и иначе называется преобразованием линейного пространства L. Оператор φ, действующий в линейном пространстве L, называется линейным, если для любых векторов x, y из L и любого числа выполняются равенства: 1) 2) . Примеры линейных операторов. Нуль-оператор θ ставит в соответствие каждому вектору нулевой вектор 0: . Тождественный (единичный) оператор ε ставит в соответствие каждому вектору этот же вектор: . Оператор подобия φ с коэффициентом подобия µ ставит в соответствие каждому вектору пропорциональный вектор µx: .