4.5 Зображення просторових форм

4.5.1 Питання до розгляду

Приблизна класифікація поверхонь. Лінійчаті розгортні поверхні. Поверхні обертання. Cпосіб обертання навколо проекціювальної прямої. Лінійчаті поверхні обертання. Нелінійчаті поверхні обертання. Гвинтові поверхні обертання. Умови належності точки і лінії до поверхні.

4.5.2 Рекомендації з вивчення

Необхідно засвоїти такі терміни та поняття: визначник поверхні, напрямна лінія поверхні, твірна поверхні, каркас поверхні, обрис поверхні, контур поверхні, лінійчата та нелінійчата поверхні, розгортна та нерозгортна поверхні, циліндрична та призматична поверхні, конічна та пірамідальна поверхні, поверхня обертання. Треба знати приблизну класифікацію поверхонь за двома ознаками: за формою твірної поверхні, за характером руху твірної по напрямній лінїї поверхні. Треба знати умови належності точки і лінії до поверхні. Треба вміти будувати проекції точок на поверхнях обертання (циліндр, конус, сфера, тор), на многогранниках (призма і піраміда – трьох-, чотирьох-, п’яти- та шестикутні). Принцип належності точки поверхні: точка належить поверхні, якщо вона належить лінії, що розташована на цій поверхні.

Приклад 2. Побудова відсутніх проекцій точок, що належать проекціювальній поверхні (призмі), по заданим фронтальним проекціям наведено на рис. 4.9. Перевіримо дію трьох законів комплексного кресленика.

1. Вертикальна лінія зв’язку .

2. Горизонтальна лінія зв’язку .

3. Відстань горизонтальної проекції до осі дорівнює відстані профільної проекції до осі , тобто .

Використовуючи знання трьох законів КК, будуємо відсутні проекції точок , та .

Приклад 3. Побудова відсутніх проекцій точок, що належать непроекціювальній поверхні (чотирикутній піраміді), по заданим фронтальним проекціям наведено на риc. 4.10.

Побудова відсутніх проекцій точок и , що належать ребру та основі, нескладна (використовуємо принцип належності). Побудова відсутніх проекцій точки потребує використання допоміжної лінії.

1. З вершини через відому проекцію до перетину з основою проводимо допоміжну лінію ( - це фронтальна проекція допоміжної лінії).

Рисунок 4.9 – Комплексний кресленик до прикладу 2

Рисунок 4.10 – Комплексний кресленик до прикладу 3

2. Будуємо горизонтальну проекцію допоміжної лінії. Точка належить основі, тому провівши вертикальну лінію зв’язку, знаходимо горизонтальну проекцію точки . Маючи дві горизонтальні проекції точок, будуємо горизонтальну проекцію допоміжної лінії .

3. Оскільки точка належить допоміжній лінії , то і її проекція належить проекції допоміжної лінії . Провівши вертикальну лінію зв’язку з точки до перетину з горизонтальною проекцією допоміжної лінії , знайдемо горизонтальну проекцію шуканої точки .

4. Профільну проекцію будуємо, використовуючи знання трьох законів комплексного кресленика.

Приклад 4. Побудова відсутніх проекцій точок, що належать непроекціювальній поверхні (шестикутній піраміді), по заданим фронтальним проекціям наведено на риc. 4.11.

Рисунок 4.11 – Комплексний кресленик до прикладу 4

Побудова відсутніх проекцій точок і , що належать ребру та основі, нескладна (використовуємо принцип належності). Для побудови відсутніх проекцій точки використовуємо допоміжну лінію іншого типу, ніж на рис. 4.10.:

1. Через відому проекцію допоміжної лінії до перетину з двома сусідніми ребрами ( и ).

2. Використовуючи вертикальні лінії зв’язку, знаходимо горизонтальні проекції точок перетину допоміжної лінії з двома сусідніми ребрами ( и ). Маючи дві горизонтальні проекції точок ( и ), ми будуємо горизонтальну проекцію допоміжної лінії .

3. Оскільки точка належить допоміжній лінії , то й горизонтальна проекція належить горизонтальній проекції допоміжної лінії . Провівши вертикальну лінію зв’язку з точки до перетину з горизонтальною проекцією допоміжної лінії , знайдемо горизонтальну проекцію шуканої точки .

4. Профільну роекцію будуємо, використовуючи знання трьох законів КК.

Приклад 5. Побудова відсутніх проекцій точок, що належать конічній поверхні обертання, за заданими фронтальними проекціями наведено на рис. 4.12.

Рисунок 4.12 – Комплексний кресленик до прикладу 5

Побудова відсутніх проекцій точок B і C, що належать лівій крайній твірній і основі, нескладна (використовуємо принцип належності).

Для побудови відсутніх проекцій точки використовуємо допоміжну лінію. Через відому проекцію , паралельно основі, проведемо фронтальну проекцію допоміжної лінії до перетину з двома крайніми твірними( и - точки перетину). Горизонтальна проекція допоміжної лінії – це окружність радіусу R з центром на горизонтальній проекції вершини конусу.

Оскільки точка належить допоміжній лінії , то і її горизонтальна проекція належить горизонтальній проекції допоміжної лінії . Провівши вертикальну лінію зв’язку з точки до перетину з горизонтальною проекцією допоміжної лінії , знайдемо горизонтальну проекцію шуканої точки .

Профільну проекцію побудуємо, використовуючи знання трьох законів комплексного креслення.

Приклад 6. Побудова відсутніх проекцій точок, що належать сферічній поверхні обертання, за заданими фронтальними проекціями наведено на рис. 4.13.

Рисунок 4.13 – Комплексний кресленик до прикладу 6

Бічна поверхня сфери непроекціювальна, тому вона проекцюється в коло (поверхня в площину). Горизонтальні проекції паралелей – концентричні окружності, центр яких співпадає з центром горизонтальної проекції сфери.

Побудова відсутніх проекцій точок A і B, що належать екватору і меридіану сфери, нескладна (використовуємо принцип належності).

Для побудови відсутніх проекцій точки використовуємо допоміжну лінію – проведемо паралель через точку . Через відому проекцію , паралельно екватору, проведемо фронтальну проекцію допоміжної лінії до перетину з меридіаном ( и - точки перетину паралелі та меридіану). Горизонтальна проекція допоміжної лінії (паралелі) – це окружність радіусу R.

Оскільки точка належить паралелі (допоміжній лінії ), то й її горизонтальна проекція належить горизонтальній проекції паралелі (допоміжні лінії ). Провівши вертикальну лінію зв’язку з точки до перетину з горизонтальною проекцією паралелі (допоміжної лінії ), знайдемо горизонтальну проекцію шуканої точки .

Профільну проекцію будуємо, використовуючи знання трьох законів комплексного креслення.

4.5.3 Література

[1, с. 61-75; 2, с. 52-59, 77-88; 3, с. 40-46]

4.5.4 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Скільки координат визначає однозначне положення геометричного тіла

в просторі?

2. Яким способом задаються поверхні в ІГ?

3. Поясніть суть кінематичного способу утворення поверхні.

4. Як на КК зображаються поверхні?

5. Що називається визначником поверхні? Назвіть його складові.

6. Які поверхні називаються розгортними?

7. Які поверхні називаються лінійчатими?

8. Чим контур поверхні відрізняється від обриса поверхні?

9. Що називається каркасом поверхні?

10. Які поверхні відносяться до проекціювальних?

11. Чи можна назвати бічну поверхню призми проекціювальною поверхнею?

11. Чи можна назвати основи призми відсіками проекціювальних площин?

13. Чи можна назвати ребра призми відсіками прямих окремого положення?

14. Чи можна назвати бокову поверхню піраміди проекціювальною поверхнею?

15. Чи можна назвати основу піраміди відсіком проекціювальної площини?

16. Які ребра піраміди можна назвати відрізками прямих загального положення?

17. Які ребра піраміди можна назвати відрізками прямих окремого положення?

18. Що називається поверхнею обертання? Що є визначником поверхні

обертання?

19. Яка утвориться поверхня, якщо твірна – пряма лінія, паралельна осі обертання?

20. Яка утвориться поверхня, якщо твірна – пряма лінія, що перетинає вісь обертання?

21. Накресліть кресленик прямого кругового конуса.

22. Яка утвориться поверхня, якщо твірна – окружність, а вісь обертання – її діаметр?

23. Чи можна назвати бічну поверхню циліндра проекціювальною поверхнею?

24. Чи можна назвати основи циліндра відсіками проекціювальних площин?

25. Чи можна назвати бічну поверхню конусу проекціювальною поверхнею?

26. Чи можна назвати основу конусу відсіком проекціювальної площини?

27. Назвіть головні лінії сфери. Що собою уявляють допоміжні лінії на сфері?

28. Сформулюйте умови належності точки і лінії до поверхні.

29. Побудувати бракуючі проекції точок, що лежать на видимій частині поверхонь (рис. 4.14): а) конічної поверхні обертання; б) сфери; в) тора.

Рисунок 4.14 – Графічні умови до питання 29 розділу 4.5