Решение задач
Задача 1. Отделить корни уравнения х4– 2х3– 5х2+ 2х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2].
Построим график данной функции на отрезке [–2; 2] с шагом 0,25. График функции х4– 2х3– 5х2+ 2х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2] представлен на рисунке 3.11.
Рисунок 3.11. График функции х4– 2х3– 5х2+ 2х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2]
Из графика легко определить, что на данном участке функция трижды меняет знак (пересекает ось абсцисс), и, следовательно, имеет три корня на трех отрезках: [–1,75; –1,5]; [–0,5; 0]; [0,5; 0,75].
Задача 2. Найти корни уравнения х4– 2х3– 5х2+ 2х + 0,9 = 0 методом последовательных приближений на отрезке [–2; 2] с заданной погрешностью 0,001.
Точные значения корней установить из графика весьма затруднительно. Графическое решение уравнения в принципе возможно, но потребует много времени для изменения масштаба графика и непосредственного исследования поведения графика функции вблизи корней. Проще использовать средство Подбор параметра, встроенное в Microsoft Excel, которое позволяет оперативно найти корни с заданной точностью.
Перед началом использования средства Подбор параметра, необходимо настроить специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций). Для этого необходимо командой СервисПараметрыВычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры и установить:
в поле Относительная погрешность значение погрешности 0,001;
в поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001;
нажать кнопку OK.
Для нахождения корня на отрезке [–1,75; –1,5] необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.12.
-
A
B
1
X
–1,75
2
Y
=B1^4-2*B1^3-5*B1^2+2*B1+0,9
Рисунок 3.12. - Заполнение рабочего листа
В данной таблице используется решение предыдущей задачи:
[–1,75; –1,5];
[–0,5; 0];
[0,5; 0,75].
В ячейку B1 внесена левая точка отрезка [–1,75; –1,5].
В ячейку B2 расчетная формула функции х4– 2х3– 5х2+ 2х + 0,9 = 0.
Далее необходимо выделить ячейку B2 и командой Сервис Подбор параметра (на рисунке 3.12) открыть окно диалога Подбор параметра (рисунок 3.13).
В окне диалога Подбор параметра:
В поле Установить в ячейке следует указать имя ячейки, содержащей формулу, для которой следует подобрать параметр (если предварительно ячейка была выделена, то ее имя в этом поле появится автоматически).
В поле Значение необходимо ввести число (значение функции), которое должна возвратить формула по окончании процесса подбора параметра.
В поле Изменяя значение ячейки необходимо указать ссылку на ячейку, которая содержит начальное значение аргумента. На эту ячейку прямо или косвенно должна ссылаться формула, содержащаяся в ячейке, адрес которой указан в поле Установить в ячейке. Указать ссылку можно, выполнив Щелчок на нужной ячейке (в данном случае на ячейке B1).
Нажать кнопку OK.
Рисунок 3.13. - Окно диалога Подбор параметра
По окончании итерационного процесса подбора параметра появится информационное окно о нахождении или отсутствии решения (рисунок 3.14).
Рисунок 3.14. - Окно диалога Результат подбора параметра
В ячейку B1 будет помещен аргумент X, при котором значение функции Y в ячейке B2 менее чем на 0,001 отлично от нуля. Это означает, что с заданной погрешностью 0,001 найден корень функции x1 = —1,624 920 583 202 58.
Аналогично осуществляет поиск оставшихся двух корней x2 и x3.
Ответ:
На отрезке [–1,75; –1,5] корень x1 = —1,624 920 583 202 58.
На отрезке [–0,5; 0] корень x2 = —0,279 725 512 565 86.
На отрезке [0,5; 0,75] корень x3 = 0,599 543 914 148 49.
Задание. Программно округлите значения корней до сотых долей.
Задача 3. Найти методом последовательных приближений корни уравнения с заданной погрешностью 0,001.
Данное уравнение можно представить в виде и решать с помощью средстваПодбор параметра, т.е. способом, предложенным в задаче 2. Но численные методы и Microsoft Excel позволяют решить это уравнение и другим способом. Последнее уравнение можно представить в виде системы двух уравнений:
Система уравнений решается графически. Для этого необходимо построить графики функций y1, y2 и найти координаты точки пересечения. Графическое решение системы уравнений возможно (рисунок 3.15), но займет много времени, так как для достижения заданной погрешности вычислений потребует изменения масштаба графика и исследований поведения графиков функций вблизи точки пересечения.
Рисунок 3.15. - Графическое решение системы уравнений
Необходимо заметить, данное уравнение содержит один корень и не требует проведения операции отделения корней. Если уравнение имеет более одного корня, то операцию отделения корней проводить необходимо. Из рисунка 16 следует, что корень находится на отрезке [0,75; 1]. Для повышения точности решения применим метод последовательных приближений, организованный с помощью итераций.
Прежде чем приступить к оформлению и программированию задачи, необходимо задействовать специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций).
Командой СервисПараметрыВычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры (рисунок 3.16) и установить:
Селективный переключатель Вычисления в положение Вручную.
В поле Относительная погрешность значение заданной погрешности 0,001;
В поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001;
Включить переключатель с флажком Итерации.
Нажать кнопку OK.
Для нахождения корня методом приближенных вычислений необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.16.
В ячейку B2 помещена расчетная формула =(1+COS(A2))/2.
Рисунок 3.16. - Заполнение рабочего листа
Значение, вычисленное в ячейке В2, поступает в ячейку A2 (A2=B2), и с учетом нового значения A2 рассчитывается новое значение в ячейке B2. То есть, ячейки A2 и B2 связаны между собой циклическими ссылками. Итерационный процесс будет происходить до тех пор, пока содержимое ячеек A2 и B2 не станет отличаться друг от друга на величину заданной относительной погрешности (рисунок 3.17).
Запуск программы в работу осуществляется нажатием на клавишу F9. Для повышения точности расчета клавишу F9 необходимо нажимать до тех пор, пока не прекратятся изменения чисел в ячейках (рисунок 3.17).
Рисунок 3.17.- Решение найдено
Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень x = 0,835 43.
Задание. Данный алгоритм (способ) приближенных вычислений целесообразно использовать, если уравнение имеет единственный корень. Усовершенствуйте алгоритм, чтобы он позволял данным способом находить в заданном уравнении несколько корней, если таковые имеются.
Задача 4. Дана функциональная зависимость давления воздуха от высоты: . На какой высоте давление воздуха будет равно 5 000 Па? На какой высоте давление воздуха будет равно нулю с погрешностью 0,001?
Формализация
Из справочника по физике почерпнем дополнительные сведения:
= 0,029 кг/моль — молярная масса воздуха;
g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения на Земле;
R = 8,31 Дж/(моль·K) — универсальная газовая постоянная;
T = 300 K — температура воздуха по шкале Кельвина;
P0 = 101 325 Па — нормальное атмосферное давление.
Для упрощения расчетов считается, что T = const и g = const.
На рисунке 3.18 представлен рабочий лист с данными.
- Ростовский государственный экономический университет «ринх»
- Ростов-на-Дону
- Оглавление
- Введение
- Тема 1. Антивирусные программы
- 1.1. Компьютерные вирусы и антивирусные программы
- 1.2. Программный пакет Антивирус Касперского и работа с ним
- 1.3. Практические упражнения по антивирусной защите
- Тема 2. Создание sql-запросов в реляционных субд
- 2.2. Запросы на выборку данных из одной таблицы
- Сотрудники
- Запрос на выборку всех записей с произвольным набором полей
- Список сотрудников
- Сотрудники
- Синие воротнички
- Сотрудники
- Подразделения
- 2.3. Запросы на выборку данных из нескольких таблиц
- Сотрудники, не имеющие ученых степеней
- План-график мероприятий
- 2.4. Вычисления и групповые операции в запросах
- Сотрудники
- Премирование
- 2.5. Подчиненные (сложные) запросы
- Электромобили
- Маршруты
- Тема 3. Решение экономических задач в ms Excel
- 3.1. Моделирование как метод познания
- Постановка задачи
- 3.2. Пример моделирования в среде Microsoft Excel
- Формализация, алгоритмизация и программирование
- Объединение ячеек
- Селективные переключатели
- Цифровые индикаторы
- Цифровой индикатор суммарной мощности
- Излучатель сигнала тревоги
- Прогнозирование
- 3.3. Приближенное решение уравнений в Microsoft Excel
- Задача о приближенном решении уравнений
- Отделение корней
- Решение задач
- Оформление и программирование
- Тестирование и отладка
- Прогнозирование
- 3.4. Задачи линейного программирования
- 3.4.1. Пример решение задачи линейного программирования
- 3.4.2. Лабораторная работа.
- Тема 4. Электронная почта Outlook Express
- Библиографический список
- Информатика
- Формализация, алгоритмизация и программирование
- Объединение ячеек
- Селективные переключатели
- Цифровые индикаторы
- Цифровой индикатор суммарной мощности
- Излучатель сигнала тревоги
- Прогнозирование
- Контрольные вопросы по дисциплине "практикум на пк"