logo
Лаб

Отделение корней

Многие нелинейные уравнения имеют более одного корня. Первым шагом в приближенном решении уравнений является отделение его корней друг от друга: необходимо так разделить числовые промежутки, чтобы на каждом из них содержался только один корень данного уравнения.

Если функция f(x) непрерывна, то в математическом анализе отделение корней уравнения f(x) = 0 делается на основании теоремы о промежуточном значении: «Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и ее значения на концах отрезка f(a), f(b) имеют различные знаки, то на отрезке [a; b] обязательно найдется точка c, в которой функция обращается в нуль f(с) = 0».

Теорема о промежуточном значении раскрывает методику отделения корней:

отрезок [а, b], на котором ищут корни, необходимо разбить на части точками а = х0 < x1< ... < хn = b;

найти значения функции f(x) в этих точках: f(x0), f(x1), ... , f(xn);

если соседние точки функции f(xk) и f(xk+1) имеют различные знаки, то на отрезке [xk; xk+1] уравнение f(x) = 0 имеет, по крайней мере, один корень.

Естественно, что на ранних этапах развития математики корни отделяли вручную, позднее с помощью калькулятора. Современное средство программирования Microsoft Excel позволяет обойтись без утомительного процесса отделения корней. Достаточно построить график функции и визуально отделить корни друг от друга.