Понятие о системах счисления. Системы счисления, применяемые в эвм.

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – рассмотренная ранее римская система счисления. Дpевние египтяне пpименяли систему счисления, состоящую из набоpа символов, изобpажавших pаспpостpаненные пpедметы быта. Совокупность этих символов обозначала число. Расположение их в числе не имело значения, отсюда и появилось название.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик.

В вычислительной технике непозиционные системы не применяются.

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы – арабская десятичная система счисления.

Количества и количественные составляющие, существующие реально могут отображаться различными способами.

Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в нижнем индексе указывать основание системы счисления.

Каждой позиции в числе соответствует позиционный (разрядный) коэффициент или вес.

В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем - это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Вычислительные машины в принципе могут быть построены в любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент со множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием : двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др. Для обозначения используемой СС числа заключают в скобки и индексом указывают основание СС :

(15)10; (1011)2; (735)8; (1EA9F)16 .

Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:

1510 ; 10112 ; 7358 ; 1EA9F16 .

Есть еще один способ обозначения СС : при помощи латинских букв, добавляемых после числа. Например ,

15D; 1011B; 735Q; 1EA9FH .

Установлено, что чем больше основание СС, тем компактнее запись числа. Так двоичное изображение числа требует примерно в 3,3 раза большего количества цифр , чем его десятичное представление. Рассмотрим два числа 97D=1100001В. Двоичное представление числа имеет заметно большее количество цифр.

Несмотря на то, что десятичная СС имеет широкое распространение , цифровые ЭВМ строятся на двоичных (цифровых) элементах , так как реализовать элементы с десятью четко различными состояниями сложно. В другой системе счисления могут работать приборы декатрон и трохотрон. Декатрон - газоразрядная счетная лампа - многоэлектродный газоразрядный прибор тлеющего разряда для индикации числа импульсов в десятичной СС.

Указанные устройства не нашли применения для построения средств ВТ. Историческое развитие вычислительной техники сложилось таким образом, что цифровые ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств (триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.п.).

Заметим, что отечественная ЭВМ "Сетунь" (автор - Брусенцов Н.П.) работала с использованием троичной системы счисления.

Шестнадцатеричная и восьмеричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов - команд, данных, адресов и операндов. Перевод из двоичной СС в шестнадцатеричную и восьмеричную СС (и обратно) осуществляется достаточно просто. Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встречается при программировании и особенно часто - при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик , HTML и Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления для непосредственного редактирования данных, записанных на жестки диск, также необходимо умение работать с шестнадцатеричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлении о двоичной системе счисления.

Запись в формате с фиксированной запятой использовалась в первых электронно-вычислительных машинах (в частности, в советских «Урал-1»). Она позволяет представить числа, абсолютная величина которых не превосходит единицы, и притом лишь те из них, которые имеют данное фиксированное число двоичных или двоично-десятичных разрядов.

Нормализованная (инженерная, научная) форма записи чисел используется сейчас большинством микрокалькуляторов, компьютеров и иных вычислительных устройств. Запись числа состоит из двух частей – мантиссы и порядка, каждая из которых имеет свой собственный знак и строго определенное число десятичных (двоичных или иных) разрядов. Диапазон для мантиссы определен одним из двух правил. Чаще всего, она меньше единицы, но больше единицы следующего младшего разряда соответствующей системы счисления (как правило, десятичной или двоичной). Противоположное правило: мантисса больше единицы, но меньше единицы следующего старшего разряда (одновременно может действовать только одно из этих двух правил, но никак не оба сразу).

Байтовая система счисления. Содержимое файла в известном смысле не зависит от его типа и предназначения. С точки зрения внутренней структуры файл представляет собой конечную последовательность байтов. Каждый байт – это 8 битов, которые в двоичной системе счисления можно прочитать как целое число от 0 до 255. Каждое такое число (код) можно рассматривать как цифру в системе счисления с основанием 256. Так как файл представляет собой единую последовательность байтов (и в отличие от традиционной записи числа не разделен на целую и дробную части), то возможны два варианта прочтения файла, как числа. Во-первых, можно считать файл целым числом. Во-вторых, можно, напротив, считать целую часть нулевой (как и в записи в формате с фиксированной запятой). Каждый из этих двух подходов имеет свои плюсы и минусы. Явное преимущество второго состоит в том, что при записи в конец файла его числовое значение будет меняться в некотором смысле не очень значительно. Например, в случае текстовых файлов и при условии, что коды букв алфавита идут в порядке возрастания, именно во втором случае числовые значения файлов будут согласованы с положением этих текстов в словаре (в алфавитном порядке), тогда как в первом случае больший номер достанется файлу с более длинным текстом.