1.5.6 Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл

Рассмотрим случайную величину u, равномерно распределённую на отрезке интегрирования [a,b]. Тогда f(u) так же будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как , где φ(x) — плотность распределения случайной величины u, равная на участке [a,b].

Таким образом, искомый интеграл выражается как .

Но матожидание случайной величины f(u) можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем N точек, равномерно распределённых на [a,b], для каждой точки u_i вычисляем f(u_i). Затем вычисляем выборочное среднее: .

В итоге получаем оценку интеграла:

Точность оценки зависит только от количества точек N.

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как , и суммируем их площади.