logo
sh

Методы численного интегрирования.

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b — пределы интегрирования (см. рисунок).

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

Метод непосредственно использует замену определенного интеграла

интегральной суммой . В качестве точек Bi может

выбираться любая точка в промежутке [xt^j;x(] . В зависимости от выбора этой точки различают методы левых, правых и центральных прямоугольников.

  1. ei — Xj_j - левая граница интервала - метод левых;

  2. с, =Xj - правая граница интервала - метод правых;

  3. Рч - -i—~—- . середина интервала - метод центральных

Обычно, когда рассматривают метод прямоугольников, разбивают [(i,h\ на п равных отрезков Axi = h — const .

В этом случае получаем следующие формулы для разных методов

Метод правых прямоугольников

Метод левых прямоугольников

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на

отрезки одинаковой длины h: где

Погрешность формулы трапеций: , где

Метод Симпсона

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

где