Система обслуживания м/м/1

Система обслуживания М/М/1– это система с одной обслуживающей линией, Пуассоновским входящим потоком, показательным распределением обслуживания и дисциплиной ОПП (обслуживание в порядке поступления).

Диаграмма изменений состояний во времени для системы может быть изображена следующим образом:

Пусть процессы поступления и обслуживания определяются соответственно параметрами и. Определим вероятностьp_n(t+t)того, что в момент времениt+tв системе будет находитьсяnклиентов (пакетов или вызовов). Из диаграммы видно, что в момент времениtсистема могла находиться только в состоянииn-1, nилиn+1. Тогда мы можем записать:

.

Вероятности перехода из одного состояния в другое получены в результате рассмотрения путей, по которым происходят эти переходы, и расчёта соответствующих вероятностей. Например, если система осталась в состоянии n, то могли произойти либо уход и одно поступление с вероятностьюt, либо ни одного ухода или поступления с вероятностью, что и показано в первом случае.

Производя упрощения, иcпользуя разложениев ряд Тейлора, можно получить следующее уравнение:

.

Для стационарного состояния вероятность p_n(t)приближается к некоторому постоянному значению, поэтому= 0. Тогда последнее уравнение для стационарного случайного процесса упрощается и принимает вид:

(1).

Форма уравнения (1) показывает, что при работе системы действует стационарный принцип равновесия: левая часть описывает интенсивность уходов из состояния n, а правая часть – интенсивность приходов в состояниеnизn-1илиn+1. Чтобы существовали вероятности стационарного состояния, эти две интенсивности должны быть равны.

Рассмотрим диаграмму состояний для системы М/М/1

Ввиду предположений о Пуассоновском процессе поступления и уходов клиентов переходы имеют место только между соседними состояниями с показанными интенсивностями.

Уравнение (1) может быть решено несколькими способами. При простейшем их них может быть использовано условие равновесия. Если рассчитать общий «поток вероятности», пересекающий границу области 1, и приравнять исходящий поток к входящему, получиться уравнение (1). Область 2 охватывает всё множество точек от 0 до n. Поток, поступающий в эту область, равенp_n+1, а поток, покидающий её, равенp_n. Приравнивая эти два потока, получим:p_n+1=p_n. Повторяя последнее уравнениеnраз, получим:

p_n=p_n-1; p₂=p₁;

…

p₃=p₂; p₁=p₀;

Следовательно,

Отсюда:

Значение р₀для случая бесконечной очереди можно найти, используя нормирующее условие:. Просуммировавnвышеприведенных уравнений и учитывая нормировку, получим:

.

Используя это, можно записать решение для установившегося режима:

. (2)

Распределение вероятностей (2) системы М/М/1 называется геометрическим распределением.

Обобщим результаты для случая конечной очереди, вмещающей не более Nпакетов. Можно показать, то в этом случае:

В частности, вероятность того, что очередь заполнена, совпадает с вероятностью блокировки:

.

На следующем рисунке приведён график вероятности блокировки в зависимости от нормированной нагрузки .

Область >1называется областью перегрузки или скученности. Производительность системы, которая близка к нагрузкепри малых, выравнивается и при возрастанииприближается к пропускной способности.

Рассмотрим область <1. На основании определения среднего значенияp_n, проведя суммирование, получим среднее числоE(n)клиентов в системе, включая находящихся на обслуживании:

.

Это отражено на следующем рисунке:

При увеличении среднее число клиентов в очереди резко возрастает за счёт(1-)в знаменателе.

Можно заметить, что при росте нагрузки системы растёт её производительность, однако при этом блокируется всё большее количество клиентов, а следовательно, растёт E(n), что ведёт к увеличению времени задержки в очереди.

Для нахождения времени задержки используют формулу Литтла:

E(T) = E(n), гдеE(T)– среднее время задержки в системе.

Для системы М/М/1, используя предыдущие формулы, можно получить: .