Лабораторная работа №6 Изучение алгоритмов численного нахождения минимума функций нескольких переменных

Трудности задачи поиска экстремумов, характерные для функции нескольких переменных, проявляются уже при решении задачи поиска минимума функции двух переменных F(x,y). Графически функцию F(x,y) можно изобразить не только в виде плоской поверхности в трехмерном пространстве, но и в виде «плоских» линий уровня , являющихся проекциями на плоскость OXY сечения поверхности z = F(x,y) плоскостью z₀ = F₀.

Выделяют три основных типа рельефа поверхности:

1. Котловинный – линии уровня похожи на концентрические эллипсы (рис. 6.1).

2. Овражный – линии уровня кусочно-гладкие. Геометрическое место точек излома по всем линиям уровня называют истинным оврагом, если угол излома направлен в сторону возрастания функции, или истинным гребнем, если угол излома направлен в сторону убывания функции. К этому же типу относят функции, линии уровня которых имеют не изломы, а участки с очень большой кривизной, называемых разрешимыми оврагами. Например, функция Розенброка - одна из стандартных тестовых функций многомерной оптимизации (рис 6.2).

3. Неупорядоченный тип рельефа – характеризуется наличием многих максимумов и минимумов (рис. 6.6).

а b

Рис. 6.1. Поверхность (а) и линии уровня (b)

функции с котловинным рельефом

а b

Рис. 6.2. Поверхность (а) и линии уровня (b) функции Розенброка

с овражным рельефом

а b

Рис. 6.6. Поверхность (а) и линии уровня (b) функции

с неупорядоченным рельефом

Рассмотрим несколько методов поиска минимума функции нескольких переменных.