Задачи анализа непрерывных систем

Какого рода вопросы ставятся при исследовании моделей, заданных системами дифференциальных уравнений? Зная значения параметров, мы можем для любых начальных значений фазовых переменных решить (как правило, численно на ЭВМ) систему дифференциальных уравнений и предсказать ход процесса во времени, т.е. рассчитать поведение интересующих нас переменных, определив зависимостии т.д. Решения системы дифференциальных уравнений удобно представлять также в виде траекторий - кривых, вычерчиваемых изображающей точкой(,...) в пространстве фазовых переменных. Такого рода решения позволяют получить ответ на вопрос о том, в какое состояние перейдет динамическая система с течением времени, если известно ее исходное состояние и оказываемые на систему внешние воздействия. Они позволяют судить о будущем развитии и в ходе вычислительного эксперимента подбирать необходимые воздействия на систему, обеспечивающие ее желаемую эволюцию. Следует, однако, иметь в виду, что использование таких решений в целях прогнозирования или тем более в целях оптимизации системы возможно лишь при достаточно высокой точности определения как структуры модели, так и ее параметров.

Математические модели, подобные рассмотренным в примерах 2 и 3, относятся к разряду качественных: они призваны описывать принципиальные, качественные свойства изучаемых процессов, а не их детальные характеристики. При заведомой количественной неточности этих моделей точное их решение имеет мало смысла. Возникающие при исследовании таких моделей вопросы должны носить качественный характер. (Впрочем, вопросы качественного характера оказываются не менее интересными и тогда, когда имеется точное описание моделируемого процесса.) В этом случае интерес представляет не отдельная реализация процесса (отдельная траектория), а поведение системы в целом, т. е. совокупность всех траекторий и зависимость общих свойств этих траекторий от параметров модели.

Качественные вопросы естественно разделить на две категории. Вопросы первого типа относятся к поведению системы при фиксированных значениях параметров. Самым существенным при этом является качественное понимание режимов, устанавливающихся в системе по прошествии достаточно большого периода времени (как говорят, по завеpшении пеpеходного пpоцесса). Вообще говоря, в системе могут устанавливаться разные режимы. Так взаимодействие болезнетворных микроорганизмов и иммунных клеток может привести к гибели организма, к его излечению, к переходу болезни в хроническую форму или в режим периодических обострений.

Вопросы первого типа как раз и подразумевают предсказание того, какие режимы могут устанавливаться в данной системе пpи фиксированных значениях параметров. Ответы на них можно получить из так называемого фазового портрета системы - совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых переменных. Среди этих траекторий имеется некоторое число основных, определяющих качественные свойства системы. К ним относятся, прежде всего, точки равновесия, определяющие стационарные режимы, и замкнутые траектории (циклы), отвечающие режимам периодических колебаний. Будет режим устойчив или нет, можно определить по поведению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притягивают все близкие траектории, неустойчивое - отталкивает хотя бы некоторые из них. Наконец, интерес представляют области притяжения различных устойчивых pежимов и границы этих областей.

Вопросы второго типа касаются событий, происходящих в системах пpи изменении значений параметров. Постоянное изменение параметра может привести, например, к тому, что ранее стационарный режим сменится пульсирующим. Пpи таких перестройках меняется фазовый портрет изучаемой системы. Качественные перестройки фазового портрета называются бифуркациями. Вопросы второго типа, следовательно, подразумевают определение бифуркационных (критических) значений параметров и описание явлений, происходящих при переходе через критические значения. Таким образом, возникает задача разбиения пространства параметров системы на области с качественно различными типами динамического поведения - построение параметрического портрета системы. Построенный параметрический портрет в совокупности с соответствующими фазовыми портретами содержит в концентрированном виде всю информацию о возможных динамических режимах в системе.