Многоканальная смо с ожиданием

Предположим, что условия задачи по предоставлению почтовых услуг таковы: на почте работает одновременно несколько окошек, выполняющих все виды обслуживания. Такую систему обслуживания можно представить в виде многоканальной марковской СМО следующей структуры (рис.4.8):

Сформулируем задачу. Пусть имеем приборов обслуживания с интенсивностями обслуживаниякаждого прибора. Входной поток - пуассоновский, время обслуживания - экспоненциальное. При этих условиях правило выбора прибора не влияет на число требований, находящихся в очереди и в системе, на среднее время ожидания, но на занятость приборов влияет.

Рассмотрим вероятности переходов при изменении состояний системы.

Изобразим соответствующий граф переходов (рис.4.9).

Запишем систему дифференциальных уравнений состояний:

Запишем систему уравнений установившегося режима

Отсюда имеем

Выражение для получим, учитывая, что Тогда

Прежде чем определить интегральные числовые характеристики системы, проанализируем работу приборов:

• среднее число заявок, поступивших в систему за время , равно;

• среднее время обслуживания одной заявки равно ;

• время обслуживания отдельных заявок независимо, отсюда суммарное время обслуживания одним прибором заявок, пришедших за время , равно.

Так как заявки обрабатываются независимо друг от друга, то суммарное время, затраченное одинаковыми приборами, имеющими интенсивность обслуживания, на обработкузаявок, будет таким же, как и время при котором обслуживание производилось бы одним прибором, то есть. Однако общее «рабочее» времяприборов за времясоставит величину. Тогда полное «рабочее» времяприборов за вычетом времени, затраченного на обслуживание заявок, даст время простоя обслуживающих устройств.

Таким образом, можно считать, что в системе в среднем имеется занятых инезанятых приборов.

Теперь рассчитаем - среднее время ожидания очереди одной заявкой и- среднее время пребывания заявки в системе.

За время в систему придетзаявок, и их среднее время ожидания равно. Поэтому среднеечисло заявок в очередиравно

.

Аналогично среднее число заявок в системе . Отсюда

.

Среднее число заявок в очереди можно рассчитать по формуле

А общее число заявок в системе

.

Тогда, используя соотношения, полученные выше, определим среднее время ожидания для одной заявки:

,

и среднее время пребывания в системе:

Вероятность того, что в очереди ожидает по крайней мере одна заявка, равна вероятности того, что в системе имеется более заявок: