Построение математических моделей

Заключительным этапом является формализация модели, когда полученные на этапе концептуального моделирования описания трансформируются в понятия состояний и сигналов, передаваемых внутри модели и снимаемых с нее. Одна и та же концептуальная модель может превратиться в различные формальныемодели в зависимости от учета или не учета некоторых особенностей функционирования, грубости описания процесса функционирования, применяемого математического аппарата, а также вкусов и привычек исследователя. Примеры разных типов формализации будут даны далее.

Переход от содержательных образов систем к их математическим моделям связан с разработкой, анализом и отбором вариантов формальных определений исходя из оценок:

• возможностей применения основных величин и законов теории какой-либо конкретной области знания для преобразования содержательных контекстов (вербальных описаний) в математические модели;

• условий применимости выбранной теории и ограничений на ее использование при описании проблемных ситуаций;

• принципов сопоставления теоретически полученных при использовании модели результатов с наблюдаемыми в реальных условиях процессами функционирования систем.

В отличие от своих содержательных прообразов математические модели описывают системы в удобной компактной форме, свободны от логических неясностей и противоречий, допускают аналитические или численные исследования [6, 8].

Описание функциональных свойств систем обычно осуществляется посредством следующих типов моделей: аксиоматических, эмпирико-статистических, целевых (оптимизационных), имитационных. Данная классификация определяет способ получения формальных моделей.

Аксиоматическиемодели. Идея их создания исходит из возможности всестороннего исследования процессов функционирования систем на базе математических постулатов, определяющих наиболее характерные формы проявлений внутренних механизмов поведения систем. Ключевым моментом здесь является разработка системы аксиом (совокупности предположений), в результате формального вывода из которых можно получить искомые модели реальных внутренних процессов [2,12].

В силу ограниченности аксиоматических систем полученные модели также являются ограниченными. В них отображаются лишь выявленные при составлении аксиом и закрепленные в них внутренние механизмы.

Эмпирико-статистическиемодели. Это группа так называемыхвнешнихмоделей, описывающих в явной или неявной форме отношения между входами и выходами систем. Модели данной группы не несут никакой информации о внутренних состояниях, причинных отношениях и механизмах функционирования изучаемых систем. Идея их построения связана с обоснованиями применимости определенных теоретических гипотез о формах взаимосвязей между входами и выходами, построенными на обработке экспериментальных данных об изменениях выходных переменных, обусловленных изменениями переменных на входе.

Построению эмпирико-статистических моделей предшествуют эксперименты на реальных объектах. Условия экспериментов определяются количеством контролируемых переменных на входе и выходе системы, планами проведения экспериментов на объекте.

В экспериментах может быть задействовано лишь ограниченное количество переменных. Планы экспериментов охватывают ограниченное число точек пространства состояний системы. Возмущающие воздействия внешней среды в экспериментах игнорируются. Их влияние проявляется как "шум эксперимента", искажающий истинную картину развития процессов в системе, затрудняющий построение адекватных моделей. Концепция статистического моделирования исходит из предположения, что интегральный эффект "шума" определяет вероятностную природу изменения наблюдаемых переменных.

Оптимизационные модели. Под оптимизацией понимают процесс оптимального выбора (выбора лучшего из возможных вариантов) либо процесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние.

Состояние системы характеризуется совокупностью значений её базовых переменных. Часть базовых переменных доступна для управления. Некоторое множество доступных переменных может быть выбрано в качестве параметров оптимизации. Изменяя их значения, можно целенаправленно влиять на состояния системы. Область изменения значений параметров оптимизации описывается математической моделью, задающей совокупность налагаемых ограничений, обусловленных контекстом рассматриваемой прикладной проблемы.

В каждом своем состоянии система имеет определенную ценность (качество). Математической моделью ценности состояния системы является назначаемый экспертом критерий оптимальности (целевая функция, оптимизируемый функционал). Состояние, в котором обеспечивается экстремум целевой функции, считается оптимальным.

Модель ограничений, описывающая область возможных изменений параметров оптимизации, и критерий оптимальности, взятые в совокупности, допускают постановку задачи оптимизации. Задача сводится к нахождению экстремума критерия в пределах области возможных изменений значений параметров. Математический объект, по отношению к которому удается сформулировать подобную задачу, принято называть оптимизационной моделью.

Имитационные модели. Эти модели задаются в алгоритмической форме, рассчитаны на применение численных методов, реализуются в виде программы для ЭВМ и предназначены для проведения целенаправленных вычислительных экспериментов [1, 3]. Имитационные модели описывают динамику сложных систем при следующих условиях:

• логическая причинно-следственная структура и временной порядок совершающихся в модели изменений сохраняются подобными структуре и временной последовательности изменений, происходящих в системе;

• в состав переменных модели входят переменные, изменения которых в системе пользователь обязательно регистрировал бы, имей он возможность для соответствующих натурных исследований;

• данные о наблюдаемых с помощью модели и во время натурных экспериментов динамических процессах должны быть подобными по своему составу и характеру изменений.

При создании имитационной модели в качестве элементов её структуры могут использоваться компоненты, представляющие собой аксиоматические, эмпирико-статистические, оптимизационные, эвристические и другие модели. Все они описывают локальные внутрисистемные механизмы и разрабатываются в рамках конкретных дисциплин.

Аналитические методы решений к имитационным моделям неприменимы. Они заменяются «вычислительными прогонами» моделей. В каждом прогоне изменение состояний модели обусловлено изменениями значений независимого параметра имитации. При прогонах во времени время изменяется необратимо и однонаправлено от начального к конечному значению на заданном интервале.