1. Мсе. Загальна характеристика та історія розвитку

Метод скінченних елементів (МСЕ) – це чисельний метод вирішення задач прикладної фізики. Ключова ідея методу при аналізі поведінки конструкцій полягає в наступному: суцільне середовище (конструкція в цілому) моделюється шляхом розбиття її на об­ласті (скінченні елементи), в кожній з яких поведінка середовища описується за допомогою окремого набору вибраних функцій, що представляють напруження і переміщення у вказаній області. Ці набори функцій часто задаються в такій формі, щоб задовольняти умовам неперервності описуваних ними характеристик у всьому середовищі.

Основні переваги МСЕ

• легка алгоритмізація при використанні обчислювальної техніки;

• просте формування систем лінійних рівнянь;

• можливість розрахунку неоднорідних і складних конструкцій за різних умов навантаження;

• широкий спектр розв’язуваних завдань.

Недоліки МСЕ:

• значний об’єм розрахунків;

• відсутність аналітичного розв’язку (необхідність повного розрахунку схеми для оцінки локального НДС);

• необхідність оцінки точності результатів розрахунку.

В період з 1850 по 1875 рр. завдяки зусиллям Максвелла, Кастільяно та Мора були вироблені основні концепції теорії аналізу стержневих конструкцій. Ці концепції є наріжним каменем матричних методів будівельної механіки, які остаточно оформилися лише через 80 років і у свою чергу стали основою методу скінченних елементів.

В середині 30-х років Рабинович (СРСР) розробив математичні основи МСЕ в сучасному вигляді, проте в зв’язку з великою розрахунковою складністю метод на практиці не використовувався.

В кінці 50-х – на початку 60-х років з розвитком обчислювальної техніки в будівельній механіці сталася революція, пов'язана з відмовою від багаточисельних вузько орієнтованих прийомів розрахунку. Сталося перенесення центру тяжіння у фундаментальні дослідження методів механіки твердого тіла і математичної фізики, а в інженерній практиці — на прийоми і методи побудови комп'ютерних моделей.

Першою процедурою, яка була реалізована на ЕОМ того періоду, було вирішення систем лінійних рівнянь. Ця процедура, з одного боку, лежить в основі практично всіх чисельних методів, з іншого боку, порівняно проста в реалізації, хоч і пов'язана з великою кількістю обчислень.

Поява ЕОМ зумовила інтенсивну розробку чисельних методів, які, так або інакше, грунтувалися на трьох основних методах:

1. Метод сил – основний метод докомп’ютерної епохи, який охоплював можливості різних хитрувань з метою скорочення кількості обчислень (багаточисельні варіанти розрахункових схем, метод пружного центру і ін.). Незабаром з'ясувалося, що метод сил є неперспективним зважаючи на труднощі алгоритмізації побудови розрахункових схем, і надалі від нього довелося відмовитися.

2. Варіаційно-різницеві методи – розроблялися для вирішення задач розрахунку пластин і оболонок, грунтувалися на методах дискретизації функціоналу потенційної енергії (методи Рітца і Гальоркіна).

3. Метод переміщень – лежить в основі більшості сучасних програмних комплексів скінченно-елементного моделювання, його особливостями є дискретизація пластинчатих систем на основі стержневих апроксимацій та ітераційний (кроковий) метод для вирішення нелінійних задач.

На сучасному етапі можна виділити три основних напрями розвитку чисельних методів розрахунку конструкцій:

• пошуки альтернативних МСЕ чисельних методів;

• вдосконалення МСЕ;

• вдосконалення програмних комплексів, що реалізують МСЕ.

В 70-80-і роки розроблялися методи, альтернативні МСЕ в переміщеннях. В основному це методи, засновані на варіаційних формулюваннях, відмінних від функціонала в переміщеннях: