Лабораторная работа №1 Изучение алгоритмов численного решения нелинейных уравнений Изучение алгоритмов численного решения нелинейных уравнений в Excel.

Рассмотрим некоторые алгоритмы численного решения нелинейных алгебраических уравнений на примере уравнения

sin(N*x) + 5 – N*x = 0. ^

Для начала выделим интервал, на котором содержится только один корень. Это можно сделать визуально, построив график исследуемой функции y = sin(N*x) + 5 – N*x и найдя точки пересечения его с осью ОY.

Задание 1: Задайте значения x, например, на интервале [-5, 5] шагом 0,2. Найдите для данных значений аргумента значения функции y, постройте график, визуально определите интервал значений х, на котором находится искомый корень.

Уточнение корня методом половинного деления.

Задание 2: На втором листе вашей книги организуйте следующую таблицу, где в качестве начальных значений а и b возьмите границы выбранного вами интервала. За текущее значение корня принимается значение середины интервала x1=(a+b)/2, точность расчета определяется шириной интервала ε = ½ |x_i – x_i-1|. В случае, если f(x1)·f(b) <0, то переопределите левую границу интервала а = х1, если f(x1)·f(a) <0 – правую b = х1.

Расчет закончите при ε < 0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции в этой точке.

Уточнение корня методом хорд.

Задание 3: Рядом с полученной таблицей организуйте точно такую же, однако за текущее значение корня принимается следующее выражение:

.

Переопределение границ отрезка осуществляется так же, как описано во 2-м задании. Расчет закончите при ε < 0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции в этой точке.

Уточнение корня методом Ньютона.

Задание 4: На этом же листе вашей книги организуйте третью таблицу, где в качестве начального значения х возьмите любое значение из выбранного вами интервала. Следующее значение корня определяется по формуле (4). Поскольку метод Ньютона работает не с отрезком [a, b], а с начальным приближением х₀, то роль точности ε может выполнять расстояние между значениями корня на этой и предыдущей итерациями ∆x = |х_k - х_k-1|. Значение ∆x начинайте считать со второй итерации.

Расчет закончите при ∆x <0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции в этой точке.

Посмотрите, как изменится быстрота нахождения корня, если, начиная со второй итерации, значение производной заменить на ее приближенное значение .

Уточнение корня методом простой итерации.

Задание 5: На этом же листе вашей книги организуйте еще одну таблицу, где в качестве начального значения х возьмите то же значение, что и в методе Ньютона. Для определения следующего значения корня уравнение необходимо преобразовать к виду x=S(x).

Тогда x_n = S(x_n-1).

Расчет закончите при ∆x <0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции.

Задание 6: Cравните точность и быстроту (количество итераций) нахождения корней данного уравнения с использованием каждого из исследованных вами четырех методов.