Основные определения

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть представлены в следующем общем виде:

Или в векторной форме:

Решением системы является совокупность функций которые удовлетворяют исходным уравнениям. Решение можно записать также в векторной формеСистема уравнений

представляет собой параметрические уравнения кривой в n-мерном пространстве вещественных осей . Эту кривую называютфазовой траекториейсистемы дифференциальных уравнений. В случае =1,2,3 траектория дает наглядное представление о поведении соответствующего ей решения ( рис. 3.2).

Рис.3.2.Решения и фазовая траектория системы ОДУ второго порядка

Решение системы дифференциальных уравнений определяет собой эволюцию исследуемой динамической системы во времени. Эта эволюция изображается движением фазовой точки по соответствующей траектории. Состояние системы в моментtзависит не только от момента времени, но и от исходного состояния, в котором находилась система в момент времени. Последнее соотношение называетсяначальным условиемдля решения системы.

Возможны траектории, состоящие всего лишь из одной точки: это точки покояилистационарные точки. Точки покоя характеризуются тем, что производные переменных по времени в этих точках равны нулю. Для того чтобы точкабыла точкой покоя, необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось условие.

Если траектория дважды проходит через одну и ту же точку, то это замкнутая траектория, называемая циклом, а соответствующее ей решение будет периодическим.

Таким образом, имеется три типа траекторий : незамкнутые, замкнутые(циклы) иточки покоя. Каждая точка фазового пространства принадлежит ровно одной траектории. Следовательно, если две фазовые траектории имеют одну общую точку , то они совпадают.

Отметим далее, что системы вида относятся к так называемымавтономнымилистационарнымдифференциальным системам , т.е. системам обыкновенных дифференциальных уравнений , правые части которых не зависят от времени. Это название оправдано тем, что производные вектора переменных определяются только самим же вектором переменных и , таким образом, решение само управляет своим изменением. Если же хотя бы в одном из уравнений , входящих в систему, правая часть зависит явно от времени , то такая система уже называется неавтономнойилинестационарной.