Математические основы векторной графики

В основе векторной графики лежат математические представления о свойствах геометрических фигур.

Точка. Точка на плоскости задается двумя числами (x,y), определяющими ее положение относительно начала координат.

Прямая линия. Для задания прямой линии достаточно двух параметров. Обычно график прямой линии описывается уравнением у =kx+b. Зная параметрыkиb, всегда можно нарисовать бесконечно прямую линию в известной системе координат.

Отрезок прямой. Для задания отрезка прямой надо знать еще пару параметров, например координатыx₁и х₂начала и конца отрезка, поэтому для описания отрезка прямой линии необходимы четыре параметра.

Кривая второго порядка. К кривым второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и другие линии, уравнения которых не содержат степеней выше второй. Прямые линии — это частный случай кривых второго порядка. Отличаются кривые второго порядка тем, что не имеют точек перегиба. Самая общая формула кривой второго порядка может выглядеть, например, так:

Х²+A₁У¹+ А₂ХУ + А₃Х + А₄У + А₅=0

Пяти параметров вполне достаточно для описания бесконечной кривой второго порядка. Для записи отрезка кривой второго порядка необходимо на два параметра больше.

Кривая третьего порядка. Отличительная особенность этих более сложных кривых состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Если вы знакомы с графиком функции у=х³, то, конечно, видели тот перегиб, который происходит в начале координат. Кривые третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например, линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют именно такие линии. Все прямые и кривые второго порядка (например, окружности или эллипсы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой третьего порядка можно записать так:

Х³+A₁У³+ А₂Х²У + А₃ХУ²+ А₄Х¹+ А₅У²+ А₆ХУ + А₇Х + А₈У + А₉= 0

Видно, что для записи кривой третьего порядка достаточно девяти параметров. Для задания отрезка кривой третьего порядка надо иметь на два параметра больше.