Антонов

8.9. Оценивание параметров семейства гамма-распределений

Применение байесовской методики в задаче оценивания параметра масштаба гамма-распределения состоит в следующем. Предположим, что параметр формы известен. Априорная плотность распределения параметра масштаба была получена в п. 8.7 (8.17). Функция правдоподобия определяется на основании текущей информации и имеет вид

Qka к

^т{т'^у>’шг^а«~^кг‘^щц^тг-

Подставляя это выражение и выражение (8.17) в формулу Байеса, получаем апостериорную плотность распределения оцениваемого параметра:

е«+*«-1ехр(-е(л5²Х + *т.))

Ьапо „(0/(7;. }) = (nS² X+ Ї-І- ^к-±, (8.25)

па + ка-1

где X_k - математическое ожидание случайной величины t, полученное на этапе текущих наблюдений; к - объем выборки текущих значений наблюдаемой случайной величины.

Определим байесовскую оценку параметра X и точность в определении этого параметра. Для этого подставим выражение для апостериорной плотности распределения параметра X (8.25) в формулу (8.6), тогда

в ₌na_₊Ja-l ₍₈₂₆₎

^r nS²X+кх_к

Для оценки точности в определении параметра X подставим выражение (8.25) в (8.7) и получим

_D(Q_r) = -Zⁱ^a+~~^fca~~T¹ (8.27)

(nS²X + kx_k)²

Таким образом, получены формула (8.26) для объединения априорной и текущей информации о параметрах объектов, наблюдаемая случайная величина которых имеет гамма-распределение, и формула (8.27) для определения точности байесовской оценки параметра X. Известно, что ряд законов распределения являются частными случаями гамма- распределения. Так, экспоненциальное распределение можно представить следующим образом: E (t,X) = Г(МД);

268

^-распределение: k{t,l) = T

Ч /

Подставляя в выражения (8.26) и (8.27) соответствующие коэффициенты (a = 1 - для экспоненциального закона; a = 1/2, X = l/2a² - для закона Рэлея; a = 1/2, X = (1/2)/ - для распределения X²), можно получить выражения для оценивания параметров этих законов распределения. Результаты вычисления данных параметров представлены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Вид закона распределения

Оценка параметра

Оценка дисперсии параметра

Гамма-распределенне Г(г, а, X)

Экспоненциальное распределение E(t, X.)

^-распределение Распределение Рэлея

ЩІ, о²)

лОЕ + fca-l

⁶~ nS²i. + kr_t

^n+fc_1

⁶ nT„+jtT_t п + к-2 ni„+k T_t

1 п+к-2

ЛТ„ + ZtT₄

яа+ка-1

¹^б} (nS²i+kx_t)²

DlK)= ^п+к~\

⁶ (лт.+*т,)^г

OW= " ⁺ *~\

(_ПТ„+ZfcT₄)² f I 1 п + к-2 la⁷] (nt,+kt_kf

Примечание. т_я- математическое ожидание случайной величины/,полученноеиа этапе априорных наблюдений;п- объем выборки априорных значенийнаблюдаемой случайной величины

Таким образом, полученный результат оценивания параметра X гамма-распределения может быть распространен на большую группу законов распределения.

Байесовское оценивание параметров по многократно цензурированным данным

До настоящего времени излагались модели байесовского оценивания, основанные на довольно простых планах испытаний (эксплуатации). В частности, в предыдущих параграфах описана схема обработки результатов наблюдений, полученных в предположении, что в каждом испытании реализуется наблюдаемый признак. Например, если решается задача анализа надежности, то описанная схема предполагает, что все объекты, находящиеся под наблюдением, доведены до отказа.

На практике при эксплуатации элементов и устройств наблюдается иная картина. Как уже отмечалось в предыдущей главе, эксплуатационная информация, поступающая на обработку, бывает представлена в виде многократно цензурированных, группированных данных. Рассмотрим последовательность применения процедуры байесовского оценивания в указанных ситуациях.

Пусть текущая информация представлена в виде выборки объема г = k+v, которая содержит ряд элементов с реализовавшимся наблюдаемым признаком T₁, T₂,..., T_k и ряд элементов с не реализовавшимся

признаком, т.е. цензурированные данные Т',Т',...,Т'.

Известна плотность распределения наблюдаемой случайной величины, которая имеет вид/(9, t), где 9 - вектор параметров. Пусть А(9)

априорная плотность распределения вектора 9.

В такой постановке оценивание вектора параметров будем проводить следующим образом. Как следует из результатов, изложенных в гл. 7, функция правдоподобия для выборки с элементами, для которых реализовался признак, и элементами, содержащими цензурированные справа данные, записывается в следующем виде:

леді;})=П/адЩі-F(e,r;)).

M J=I

Далее процедура оценивания не отличается от уже изложенной ранее. Апостериорная плотность распределения записывается следующим образом:

й(Є)П/(⁰,⁷OTO-тт;'))

K^nr_i)) = ? ? .

J Л(х)П Ж Т,) П О ■- T'j) )dx

в 1=1 M

Оценки вектора параметров и точности в их определении рассчитываются по (8.6), (8,7).

Получить решение данной задачи в явном виде, по всей вероятности, не удастся ни для одного распределения. Решение необходимо искать численными методами.

Покажем, какие выражения получаются в самом простейшем случае, когда наблюдаемая случайная величина распределена по экспоненциальному закону. В этом случае функция правдоподобия

/(в,{Г,}) = П0^ехр(-07; )П(1-ехр(-07';)).

i-i j-i

Апостериорная плотность распределения параметра 9 с учетом (8.17) запишется следующим образом:

G*+"-¹ exp(-e(nS²% + Jkx_t ))fl(i -єхр (-0Г/))

K_mWWV=Z г¹ ’

Jt⁴⁺"'¹ ехр (-T (nS²X + кх_к ))Г1(1-^ехр(-х7;'))^х

О j=¹

It_i

где T_k = -*=1— . к

Для экспоненциального распределения известно, что математическое ожидание равняется среднеквадратическому отклонению и равно обратной величине интенсивности отказа, следовательно, выполняется соотношение M(T) = S = I fk, и выражение для апостериорной плотности можно переписать как

0*⁺"^_1 ехр(-9(т„ + кх_к ))П(і^-ехр (-GrJ))

к_т(в'Ю)=-„ Я

Jт*⁺"'¹ехр(-т(лт„ +kx_k ))п(1-ехр(-тг;))йт

j=i

Sr_l

где т„ = —¹— оценивается по априорной информации.

Оценка параметра экспоненциального распределения

|e*⁺"exp(-G(nt_n + kx_k ))Р2(1-ехр(-97у))^⁰

ВВЕДЕНИЕ 5

Содержание